物理规律为什么能用数学公式表达（物理学中是否有）

为了了解我在说什么，让我先引用几本量子场论的教科书和一些评论文章。

长期以来，人们认为以这样一种方式计算就足够了，即在可以直接与实验进行比较的数量中不出现无限性。[......]幸运的是，这些积分的无限部分总是会在可观测量的表达中抵消掉。——M. Peskin and D. Schroeder

天真的解决方案是简单的 "调节 "发散或使它们 "明显有限"，以便它们在数学层面上有意义，并希望当正则化被解除时，物理答案会有意义。作者：D.C. Arias-Perdomo等人。对称性2021，13，956

然而，只要我们避免红外发散，我们就没有问题。——H. Georgi - 《核与粒子科学年度评论》1993, 43, 209-252

无穷大是数学概念。在历史上，物理理论中的发散和奇点最终成为了相应模型濒临崩溃的线索。重新审视为什么旧的理论会被打破，并修改“规则”以避免发散，这就是物理学的一些基本分支诞生的方式。

量子力学是在经典物理学的 "紫外线灾难 "上构思出来的。

根据经典物理学，黑体与其周围的热平衡状态下的光谱功率与波长的四次方λ^4成反比。这意味着，在所有波长上进行积分时得到的总功率将是无限的。这种在经典物理学内无法解决的悖论被称为 "紫外线灾难"。为了解决当时众所周知的悖论，马克斯-普朗克假设能量只能以离散的数量（量子）出现。这导致了光谱功率和波长之间的不同关系，在大波长上与旧的关系一致，但在小波长上却非常不同。它解决了 "紫外线灾难 "的问题。能量只能以量子形式出现的假设是新理论——量子力学的基础之一。

黑体是一个吸收所有入射光的物体。黑体的近似值是一个有小孔的绝缘箱，一旦吸收了入射光线，就很难再通过同一个小孔射出。另外，恒星的外层，即光球层，可以被认为是一个与周围环境处于热平衡的黑体，因为发射的光子很快就被来自恒星内层的新光子所取代，而且该层的温度在一段时间内是相当稳定的。

什么是量子场理论，我们真的需要它吗？

宏观的慢速运动物体（速度远慢于光速）可以用经典力学来描述。一旦物体的速度变得与光速相当，就应该用相对论力学来描述其动态。

另一方面，在非常小的范围内，物理学并不遵循经典力学的规律。缓慢移动的微观粒子（如在原子物理学中）可以用量子力学来描述。当用快速移动的粒子操作时，其速度与光速相当，就会出现新的现象。粒子可以诞生，也可以湮灭。20世纪20年代末，物理学的新学科形成，被命名为量子场论（QFT），将量子力学的规律与相对论运动的规律相结合。

人们需要一个量子场理论来解释以相对论速度运动的小物体的物理学。在这些条件下，会出现新的现象，如粒子的诞生和死亡。

量子力学只是部分地是一种量子理论，因为它只把粒子当作量子，而场仍然被认为是经典的。物理学的第二次量子化 "革命 "发生在场也被视为量子的时候。根据量子场论，空间充满了各种场（电磁场、电子场等），而粒子可以被看作是相应场的激化。

量子场论中的无处不在的无限性

在20世纪20年代末，物理学家试图了解原子如何吸收和发射光子。更广泛地说，他们试图找到电子和光子相互作用所依据的基本量子力学规律。用电磁场的量化来解释计算出来的自发发射是量子场论的第一个成功。保罗-狄拉克在微扰理论中把原子的自发发射系数计算到一阶。人们认为，原则上，任何涉及光子和带电粒子的过程都可以在量子场论中计算出来。然而，在20世纪30年代末，人们意识到微扰理论中涉及与 "虚拟 "粒子相互作用的高阶项经常变得发散。这些计算产生了毫无意义的结果，并且在一段时间内没有得到解决，因此对整个概念产生了怀疑。此外，新进行的实验似乎指出了自然界和量子场理论之间的其他差异。

20世纪40年代，量子场论在概念上是站不住脚的。似乎在计算的每一步都出现了发散。

20世纪40年代末，有一个技巧拯救了它，即在某个大尺度的L处引入一个截止点，并将其吸收到模型中的常数中。如果计算出来的可测量量与截止点无关，那么理论将是可重正化的，最终只是与初始值相比，常数被重新标定。尽管这听起来有点粗略，但这一招还是奏效了。以这种方式计算出来的物理量与实验有很好的一致性。

在20世纪40年代末，有人认为系统地修改模型中的起始参数将普遍解决量子场理论中无处不在的无限性问题。

这个过程被命名为重正化。重正化量子场理论的第一个有直接实验证实的例子是电动力学量子理论（QED），带电粒子的量子力学相对论，特别是电子。QED是我们迄今为止拥有的最精确的物理理论之一，与实验结果的吻合度在十亿分之一之内。它起源于狄拉克、海森堡和泡利在20世纪20年代末的最初工作，随着朝永振一郎施温格和费曼的研究而完成，后来的三人因此分享了1965年的诺贝尔物理学奖。

因为他们在量子电动力学方面的基本工作，对基本粒子的物理学产生了深远的影响。

尽管重正化在实践中被证明效果很好，但费曼对其数学上的有效性从未完全放心。他甚至把重正化称为 "空壳游戏 "。

量子场论的现代时代

量子场理论的巨大进步是随着认识到量子电动力学中所有的超暴力发散都与粒子的自身能量有关而取得的。虽然在量子电动力学理论中，无限性在重正化过程中得到了系统的调节，但基尼斯-威尔逊在20世纪70年代对重正化组理论所做的深刻研究使人们对重正化程序的物理意义有了更深刻的理解，并导致了进一步的进展。重正化组的思想是处理涉及许多长度尺度的物理学问题。根据目前的观点，重正化被看作是调整低能物理学对高能物理学影响的敏感性。肯尼特-威尔逊因其在重正化方面的工作于1982年获得诺贝尔物理学奖。

据了解，模型中最初设定的质量和电荷参数，即所谓的 "裸质量 "和 "裸电荷"，是实际数量的数学抽象。它们并不直接对应于测量的实验值，所以它们最终在计算中被无限放大，这并不是什么问题。通过重正化 "裸 "参数，可以得到物理值，也就是应该与实验进行比较的值。

从重正化组的计算来看，所有的有效场理论都可以分为可重正化的、不可重正化的和超重正化的。大多数著名的理论都是可重正化的，如QED、量子色动力学、电弱相互作用理论、凝聚态物理学中的大多数理论，如超导、流体湍流等。非正则理论的一个例子是广义相对论（引力理论）。

当构建一个模型时，将其约束为可重正态化是合理和方便的，因为这将消除很多可能性。尽管自然界的行为没有先验的理由，但这种简化被证明是合理的，因为现有的成功的可重正化理论已经显示出与实验惊人的一致。

无限性的类型（在物理学中）

上文中的大部分讨论都是针对高能紫外线发散的，从物理学的角度来看，这是灾难性的，因为在自然界中没有看到这种发散。通过重正化，紫外线发散被整理出来了，在可观测量的表达式中没有发散出现。然而，在QFT中也有零能量的红外发散现象出现。

红外线发散出现在有无质量粒子（如光子或胶子）的理论中。它们发生在辐射光子的能量归零的极限中。可能有无限的零能量光子产生，所以红外发散是指光子的不确定粒子数。从技术上讲，不可能构建由有限数量的光子组成的初始基到由无限数量的光子组成的最终状态之间的转换矩阵。从物理学的角度来看，红外发散并不像紫外发散那样从根本上造成困扰。在物理学上，可测量的数量是辐射的能量，它是零，而不是发射的零能量光子的数量。此外，所有的探测器都受到一些分辨率的限制，所以零能量的光子无论如何都不可能被探测到。

在QFT内部，红外发散要么用低能量截止来处理，要么将光子的质量定义为非零，并在计算结束时将其限制为零。与零能量的光子有关的红外发散可能出现在各种过程中。

• 在虚拟修正中——电磁修正中，光子在相互作用过程中被发射和吸收，但在初始和最终的光子数量之间没有任何区别。
• 在被称为轫致辐射的过程中产生的光子中——当粒子相互作用时，它们只是被其他粒子的场偏转。

测量的总辐射能量包括上述两类过程的贡献。这两个过程的符号是相反的，因此，在总贡献中，红外发散得到了补偿。

今天的量子场论

今天，量子场论是一个完善的、极其成功的理论。尽管物理量积分的计算导致了 "每隔一步 "的无限性，但这些发散不仅可以被系统地整理出来，而且在重正化组内研究量子场论中的无限性时，可以预测系统的定性行为。利用重正化技术对发散的积分进行系统的重新计算，使得QFT被应用于许多物理学领域，粒子物理学、凝聚态物理学、引力和宇宙学。

​极其精确的标准模型量子场理论与高精度实验数据之间的差异可以提供基本粒子标准模型之外的物理学线索。在高阶微扰理论中，需要计算的繁琐积分数量呈指数级增长。

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