高中数学三大曲线性质（双曲线的一个性质及应用）

圆锥曲线有很多奇妙的性质。下面我们来探讨一下双曲线的一个性质及其应用。

性质：A是双曲线

上的一点，l₁，l₂是它的两条渐近线，作

交l₁于B，

交

于C，则|AB|·|AC|为定值。

证明：因sin∠BOC为定值，

，故只需证得|AD|·|AE|为定值。设点A（x₀，y₀），而

的方程为

点A到的距离|AD|为

同理，点A到的距离|AE|为

因此，

又

，即

因此，

为定值，即|AB|·|AC|为定值。

我们完成了这个性质的证明，但我们并未得到这个定值。由于这个性质的存在，我们可以用取特殊点的方法或通过计算sin∠BOC而得到定值。计算可得定值为

，请读者自己证明。

这是双曲线一个很有用的性质，熟练应用可以把一些问题化繁为简。请看下面两例。

例1. 如下图，已知双曲线

，一条直线分别与双曲线及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，且

，k为常数，求ΔAOD的面积。

解：作DE⊥BO，垂足为E

∵题中双曲线的两条渐近线互相垂直

∴CO//DE。由性质可知

则

故

例2. 如下图，已知两点A、C在双曲线C₁：

上，B、D在另一与C₁共渐近线的双曲线C₂上，四边形ABCD为平行四边形，且邻边分别平行两条渐近线，求C₂的方程。

初看这道题，或许有点找不着思路，因为按照常规计算，计算量是很大的。如果利用双曲线的上述性质，问题会迎刃而解。

解：设AB交渐近线

于

，CD交渐近线于

由性质可知：

又

，所以

设

，则

由于两双曲线共渐近线，则

所以，

，故

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wordwuli

▍ 声明：如有侵权，请联系删除；若需转载，请注明出处。

,