高斯定理推导电场强度（静电场高斯定理）

高斯定理是静电场的基本规律之一。现在就真空中的情况推导这一定理。首先考虑场源是点电荷的情形。今以正电荷q为中心，任意场r为半径作一个球面,如图所示。

显然，球面上各点场强大小均为E=kq/r²，(常量k=1／4πε0)，方向沿半径指向外且与球面法线的夹角θ=0，可求得通过球面S1的一的电通量

式1

上式表明Φ与r无关，即对于任意大的球面，上式均成立。

今围绕点电荷q作任意闭合曲面,由上述推导不难看出，其电通量为q／ε0，且Φ＞0。若q为负点电荷,则Φ＜0。若为作为一个闭合曲面S不包含此点电荷，则由图可看到穿出与穿入此闭合曲面的电场线数相同,亦即通此闭合曲面的电通量为零。

现在，再考虑场源是任意点电荷的情形。在场中做一个任意闭合曲面，第1至第n个点电荷在其面内，自第n 1至第N个点电荷在其面外。由于上述分析适用于任意一个点电荷，那么总电通量应为

式2

同样，对于任意带电体系的场源，上式均成立。通过真空静电场中任意一个闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷代数和除以ε0。这就是真空中的高斯定理。关于这一定理做如下说明:

第一，由库仑定律和场强叠加原理导出的高斯定理揭示了场与场源之间的定量关系，在场强分布已知时可由此求出任意区域内的电荷。这一规律显然与闭合曲面的形状、大小无关。

第二，高斯定理揭示了静电场是有源场。所选取的闭合曲面称为高斯曲面。若面内是正电荷，则Φ＞0，表明电场线始于正电荷。若面内是负电荷，则Φ＜0，表明电场线终止于负电荷。若面内无电荷，电场线仅仅从该闭合曲面穿过而已。

第三，高斯面是一个假想的任意曲面，并非客观存在。

第四，还应注意，式2中的E在高斯面上,是面内、面外全体场源电荷产生的总场强。面外的电荷对E是有贡献的，虽然对高斯面上的电通量Φ没有贡献，但它可以改变闭合曲面上电通量的分布。式中的q在高斯面内，而不在面外，也不在面上(这是无意义的)。Φ与q的具体分布无关。∑q=0只表示高斯面内电荷电量的代数和为零，亦即高斯面上电通量Φ为零，并不一定面内没有电荷，也不一定高斯面上个部分曲面电通量为零。