如何理解实变函数中的数集（通俗的实变函数）

#创作挑战赛#

实变函数，是为了扩大积分范围而引出来的一个数学分支。

据说，狄利克雷提出了这么一个函数去挑战黎曼积分：

f(x)在有理数上等于1，在无理数上等于0，求

这类函数的特点都是在定义域上不连续：在任何一个足够小的邻域内，函数值都是振荡的。

因为黎曼积分是按照定义域划分区间，然后求和，并取区间的长度趋向于0时的极限，所以要求：在非常小的定义域上，函数值的变化也得非常小。

也就是说，x趋向于x0时，f(x)也得趋向于f(x0)。

但是有理数在实数内稠密，当函数值在有理数上和无理数上差别很大时，黎曼积分就没法积分了。

为了解决这个问题，法国数学家勒贝格提出了改用值域划分积分范围的方法，就是实变函数论。

黎曼积分的本质是按定义域求和：

如果是用C语言来近似计算，就是这样：

double sum = 0;

for (double i = a; i <= b; i = (b - a) / N) {

sum = f(i) * (b - a) / N;

}

循环次数N越大，间隔(b - a) / N越小，算出来的积分值越精确。

但是，当按照函数值来划分间隔时，每个函数值对应的范围就不是区间了，而是一个集合：

以函数值划分区间

积分的数值计算代码就变成这样的了：

double sum = 0;

for (double y = ya; y <= yb; y = (yb - ya) / N) {

sum = y * Width{x | y = f(x)};

}

函数值y对应的定义域x的宽度，该是多少？[呲牙]

实变函数要解决的，就是这么个问题！

如果能按定义域划分的话，肯定就按定义域划分了。

如果没法按定义域划分，只能按值域划分，那么划分之后的“定义域的宽度”该怎么计算？

如果定义域是有理数集，那么有理数的宽度是多少？

1，有理数是可数的，

大数学家康托提出了一个概念，能够跟自然数集一一对应的集合，都叫可数集。

也就是说，这些集合的元素，可以按照0, 1, 2, 3, 4, ..., 这么依次编号。

有理数的排列-对角线

有理数的分子和分母都是整数，康托按照对角线去排列有理数的顺序，就与自然数建立了一一对应关系：也就证明了有理数是可数的。

凡是可数的集合，它的元素都是离散的。

早在欧几里德的几何原本里，离散的点就是没有长度的：所以规定可数集的“宽度”是0。

“宽度”这个词太容易混淆了，所以勒贝格把它叫做测度。

2，实数是不可数的，

因为实数是连续的，没法把实数区间里的所有点都编上号，所以实数是不可数的。

这个证明方法就是康托三分集：

A，把一个区间分成3段（有2个分隔点），3段的编号依次以0、1、2开头，

B，取中间一段，再分成更小的3段，编号依次以10，11，12开头（需要2位数），

C，这么依次编下去，总有至少1个点是编不上号的：

如果能编上的话，实数就连续不起来了。

通过研究有理数、实数与自然数的对应关系问题，康托发现了有理数和实数是不一样的，然后预言了超越数是存在的。

实数区间的测度（宽度），就是两个端点的差的绝对值：|b - a |.

有理数的测度，因为它是可数集，测度是0。

所以，间断点是一个可数集的函数，在按值域划分时，就可以积分了！

这就是勒贝格积分。

3，比较大小，

比较大小，本身是给集合的元素规定一种顺序：

a < b, b < c, 那么 a < c.

a < b，那么 b > a.

只要满足这2个关系的，就可以按照顺序进行二分查找。

对于按顺序排列的一组数字，要查找里面是否有某个数字的话，可以先看中间那个：

A，如果相等，就找到了，

B，如果小于，就看左边，

C，如果大于，就看右边。

计算机里所有的查找和排序算法，都是基于元素可以比较大小。

可以比较大小的情况下，比较一次就能定位好些个元素的情况，而不是比较一次只能定位2个元素的情况。

但不是所有的集合都能比较大小，一般认为复数是没法比较大小的，而实数可以。

复数也可以给它规定顺序：先比较“模”的大小，再比较辐角的大小。

当然数学家们为了严谨，是肯定要搞出一大堆的证明来，让人学上10遍的[捂脸]

复数的比较

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