42真的很重要吗（你以为42那么简单吗）

42，一点都不乏味

好吧，这早已不是秘密了。

我在前言里曾说过，这个数在道格拉斯·亚当斯的《银河系搭车客指南》里很重要，它是“关于生命、宇宙以及一切之终极问题”的答案。这 一发现马上产生了一个新问题：什么才是真正的关于生命、宇宙和所有一切之终极问题？亚当斯说，他选择这个数是因为，他快速地问了一圈朋友们，大家都认为42是最乏味的。

在此，我想保护42不受这样的诽谤。就数学意义而言42，毫无疑问无法和4、pi、甚至是17相提并论。然而，它也并不是完全无趣的。

42是普洛尼克数、卡塔兰数，也是最小的魔方幻方常数。当然，它还有一些其他特点。

▌普洛尼克数

所谓普洛尼克数（也叫长方形数、矩形数或 heteromecic 数）是指两个连续整数的积，因此它的形式是n(n 1)。当n=6时，我们可以得到6x7=42。由于第n个三角形数是

所以普洛尼克数是三角形数的2倍。它还是前n个偶数之和。数量是普洛尼克数的点可以排列成一个矩形，这种矩形的一条边比另一条边大1（图 171）。

图 171前 6 个普洛尼克数。阴影部分-它们为什么是三角形数的 2 倍

这里有一个关于高斯的故事，在他还很年轻的时候，被老师要求完成一个一般形式的问题

很快发现，如果相同的和式以递减的顺序写出来，即

其相应的数对之和都等于101。因为有10-对这样的数对，所以它们的总和为

，这是一个普洛尼克数。老师提出的问题的答案是这个数的一半，即5050。然而，我们实际上并不知道高斯的老师在课上提出的问题到底是什么，它有可能更难。如果是这样的话，那么高斯就更聪明了。

▌第 6 个卡塔兰数

卡塔兰数出现在许多不同的组合问题里，所谓组合问题是指对各种数学任务的完成方法进行计数。这个问题可以追溯到欧拉，他计数了一个多边形可以分割成多少种顶点相接的三角形。后来，欧仁·卡塔兰发现了这类问题和代数之间的在加法或乘法算式里插入括号的方法有多少种。我很快就会做解释，但首先让我先介绍一下这类数。

对 n = 0, 1, 2,…而言，前几个卡塔兰数 Cn

利用阶乘可以得到如下公式：

当n比较大时，它还有一个很好的近似公式：

这又是一个在看似和圆或球体无关的问题里出现了pi的例子。

Cn是把正(n 2)边形分割成三角形的不同方法的数量（图 172）。

图 172 把六边形分割成三角形的 14 种方法

它也是生成有n 1片叶子的二叉树的数量。二叉树源于一个根节点， 然后从这个节点开始向两边分枝。每个分枝都以点或叶子结束。每个点必须继续分出两枝（图 173）。

图 173 5 棵有 4 片叶子二叉树

如果你觉得这个想法有点难懂，那么它和代数还有一个更直接的联系——计算在加法或乘法算式中插入括号的方法的总数，例如对 abcd 而言， 有C5 种可能：

一般而言，n 1个符号有Cn种插入括号的方法。为了搞明白其中的联系， 我们可以把这些符号顺次填在树的叶子上。如果一对叶子有相同的节点，

那么就插入括号。如图 174 所示，我们先从左往右把4片叶子标上a、b、c、d。然后，从下往上在连接b和c的节点旁标记(bc)。它上面的节点连接了a和标记为(bc)的节点，因此新的节点对应于(a(bc))。最后，顶上的节点连接了(a(bc))和d，因此，它是((a(bc))d)。

图 174 把二叉有根树转化成代数

许多其他的组合问题也会出现卡塔兰数；以上是最容易描述的一小部分。

▌魔方

一个 3x3x3魔方的幻方常数是42 。这样的魔方包含了 1,2,3 ,……，27 每个数各一次，平行于棱边的每行或经过中心的对角线中的数之和是相等的——这个和被称为幻方常数。所有 27个数之和是1 2 …… 27=378 。这些数可以被分成 组不相交的三元组，而每个三元组相加后可以得到幻方常数，因此幻方常数必须是378/9=42 。

这样的排列是存在的，图 175 就是一个例子。

图 175 魔方的连续三层

▌其他特点

■ 42是分拆10的不同方法的数量，拆分需按自然顺序把数写成整数之和。

■42是第二个楔形数，所谓楔形数是指

3个不同质数之积。在这里，42=2x3x7。

■42是第三个15边形数，它和三角形数类似，但基于的是正15边形。

■42是超级多重完全数：除数之和的除数之和（包括42），这样重复6次之后的数字等于自己。

■ 在一段时期内，

42是已知最好的

pi的无理性度量值，即精确量化pi有多“无理”的一种方法。特别是库尔特·马勒在 1953 年证明了对任意有理数p/q而言，有

不过，V. 卡·萨利科夫在 2008 年将42修订成7.60630853，因此，42在这里又变回了无趣。

■ 42 是第三个本原伪完全数。所谓本原伪完全数需满足条件

其中Pj是可以整除N的不同质数。前几个本原伪完全数分别是

■42是这样的一种n，存在小于n的4个不同正整数a、b、c、d， 且、ac-bd和ad-bc

全都可以整除n。它是仅有的已知具有这种性质的数，但人们尚不知道是否还存在其他这样的数。

■42是被证明的香肠猜想里的最小维度（见第 56 章）。不过，人们猜想命题在大于等于5维时都成立，因此，42在这里的意义依赖于当下掌握的知识。

看到了吗？42没有那么简单，也一点都不乏味！

转自公众号 遇见数学

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