压弯构件强度的计算公式（轴心受力构件和拉弯）

教授级高级工程师，享受国务院政府特殊津贴专家。1970年毕业于清华大学土木系，1983年西安建筑科技大学结构工程研究生毕业，获工学硕士学位。曾任职于马鞍山钢铁设计研究院、中冶华天工程技术有限公司。参与和主持了多项公共建筑和钢铁企业的厂房及特种构筑物的设计与研究工作。1991年、1997年被聘为全国贮藏构筑物标准技术委员会委员。1994年研制的布帘式密封贮气柜壳体获国家专利。先后在国内外刊物及会议上发表论文10余篇，并有多篇论文获奖。

本次文章给大家介绍的是一位老钢结构专家给员工的讲座内容。由于内容多，篇幅较长，计划分批给各位介绍。

5. 轴心受力构件和拉弯、压弯构件的计算

轴心受压杆的弯曲屈曲可以说研究得比较透彻的一个问题。早在1744年，瑞士的数学家欧拉(L.Euler)就已经提出了柱稳定分析这一问题和解决方法,但是

这一经典公式是以后的学者们提出的,它是属于理想弹性直杆的计算公式。以后经过多年的研究和实践,逐步解决了非弹性修正，几何缺陷和残余应力的影响等实际问题。

残余应力是影响钢压杆稳定的重要因素，同样长细比的杆件由于残余应力的分布和量值不同使其承载力出入很大，因此原规范就把截面分成a,b,c三类，本次新规范对于一些板厚度40以上的截面又增加了d类共4类。

讲到这里，有必要解释一下残余应力，图5中热轧成型的H型钢，显然翼缘部分(A区)要先于腹板与翼缘的交界部分(B区)冷却，后冷却的B区在收缩时就要受到A区的限制，因此收缩受到限制的B区就要受拉，产生拉应力，而约束A区就要受压，产生压应力，象这种在没有外力作用下，截面产生的应力称作残余应力。翼缘越宽，两个区域的温差就会越大，则残余应力的峰值越大。焊缝的残余应力产生的机理与此类似，不过焊缝处的金属处于熔融状态，它的热塑性变形受到压缩以后，在收缩时要趋于缩得更短，因此受到的拉力要更大，有时焊缝处的残余应力会达到屈服点。图5给出了热轧成型的H型钢的残余应力分布图形。这里要指出的是残余应力在截面上是自相平衡的，也就是截面上总应力为零。因此残余应力对强度没有影响。但是当考虑稳定问题时，其影响是明显的。如果工型截面(见图5)绕X轴弯曲，受压一边翼缘部分受压区就会因应力迭加而提前屈服，由于屈服以后材料的弹性模量接近于零，所以截面的刚度要衰减(根据

)。考虑有拉应力的那部分会抵消一部分压应力，因此截面的刚度衰减的不会很厉害。但在绕Y轴弯曲时，虽然中部没有屈服，但中部对截面刚度的增强作用远不如边部对截面刚度的增强作用大，因此截面的刚度衰减的就会很厉害，临界荷载降低得就更厉害。从上面简单的分析，不难看出残余应力分布的不同以及作用力方向的不同对受压杆件的稳定有明显的影响。这就是规范中对截面分类的原因。解释一下焰切边，焰切边就是火焰切割，相当于板边有一条焊缝，因此板边有残余拉应力，在绕Y轴弯曲时，板边的残余拉应力对截面的刚度有增强作用。

有焊缝就有残余应力，板越厚，熔融的金属越多，则残余应力越高，残余应力一般对于构件的影响是利少弊多，尤其是对于承受动力荷载，需要考虑疲劳的情况，更应该设法减小残余应力和消除残余应力。焊接时对于厚板采取焊前预热和焊后保温，就是减小残余应力的有限措施。同时在焊接时应该尽可能增加焊接的遍数，因为每焊一次，后一次焊接相当于对前一道焊缝进行了一次加热退火。而消除残余应力最好的方法是整体退火，此外还有爆炸法，锤击法，碾压法等第。振动法是一个有争议的方法。

对于双轴对称或极对称的杆件一般是以弯曲屈曲作为极限状态，因此要先求出两个方向的长细比进行比较，然后取大者来控制截面。这一点绝大多数设计者是清楚的，但在实际工作中，仍然有不少忘记把两个方向的约束和支撑通盘全面考察的错误。

5.1弯扭屈曲与换算长细比

规范还明确的提出了，对于单轴对称的构件，考虑绕对称轴的屈曲时应取计及扭转效应的换算长细比

来代替

。这实际上就是说：对于单轴对称的构件，在绕对称轴的屈曲时，其极限状态是弯扭屈曲，截面的选择是以弯扭屈曲来控制的。计算弯扭屈曲的方法是用换算长细比的方法。 工程中常用到的槽钢，双角钢，T型钢，上下翼缘不等的工型截面都是单轴对称的构件，为什么单轴对称的构件在绕对称轴的弯曲时，必然是又弯又扭呢?其实这个问题在材料力学中就已经解释过：“只要外力的合力在截面内不通过弯曲中心(又称为剪心)，则杆件在弯曲时必然伴随着扭转。”可以回忆一下槽钢在绕对称轴的弯曲时的受力分析，所谓弯曲中心是指这样一个点，当弯曲时，截面上的剪力对这一点的力矩为零。如图6所示，槽钢的剪心S在槽钢的背以外距形心C距离为e0。因此在力不作用在S上时，必然产生绕S的扭转，扭转与弯曲的耦合，使得临界荷载降低，弯扭屈曲的临界荷载

既小于绕对称轴Y的弯曲临界荷载

，又小于纯扭转临界荷载

。双轴对称截面的形心与剪心是重合的，在弯曲时不会发生扭转。 根据弹性稳定理论计算分析，

、

、

三者之间有如下的关系：

(5)

其中

、

、

从式(5)可以通过解方程求出弯扭屈曲的临界力

，当然，首先要求出弯曲临界力和扭转临界力。这一方法很直观，但与规范的习惯计算方法明显不一致，国内外工程界目前计算稳定的方法一般都是先确定长细比(如柱的长细比，梁板的通用高厚比等)，然后查相应的表格。如果令

（将弯扭屈曲用弯曲的形式来表示) (6)

将(6)代入(5) 可以求出

(5.1.2-3)

求出

以后，就可以按弯曲屈曲(即轴心压杆)从规范中查出相应

的稳定系数，进而求出弯扭屈曲的临界力

。明显的，

，

称作换算长细比。这种方法在弹性状态从理论上说是准确的，在弹塑性状态则有误差，但稳定系数已经考虑一些缺陷的影响，因此误差不会过大。已被国内外工程界认可，薄钢规范GB50018也采用了同样的方法。

这种方法的原则就是按照临界力相等，将弯扭屈曲的计算转换成长细比大一些的截面相同的弯曲屈曲的计算。由于

，其中要计算扇性惯性矩

，所以计算是比较麻烦的。但对于T型截面

为零，计算要相应简单一些，规范直接给出了一些T型截面的换算长细比。对于其它类型的截面则只有慢慢计算了。因此从计算简单的角度出发，柱的截面还是选双轴对称为好。

5.2 格构式轴心受压构件与换算长细比

在轴压力和弯矩比较大且柱子较高的情况，柱的截面选实腹式的单柱是不经济的。通常选用格构柱，即用缀件将两个或多个单柱连接成一体的组合柱。穿过单柱的形心轴为实轴，穿过缀件的形心轴为虚轴。格构柱在绕虚轴发生弯曲屈曲时，由于缀件的抗剪刚度比实腹柱的腹板要弱，剪切变形比较大，必须加以考虑。正是剪切变形的影响，使得格构柱的稳定承载力要低于实腹柱。采用与计算弯扭屈曲时同样的原则，也用放大了的长细比来考虑剪切变形的影响，这一放大了的长细比也称为换算长细比

。要指出的是这些换算都是按照弹性稳定理论计算公式经过数学推导得来的,并非是经验公式。有关的计算公式就不一一列出了，在规范的5.1.3条中有详细的规定。

格构柱与实腹柱的稳定计算相比，还有两点要加以考虑:一,关于分肢的稳定，二是剪力的计算。由于格构柱是用缀件将单个柱连接起来的组合柱，很明显，缀件之间的分肢的稳定也必须要加以考虑。对此，规范没有给出详细的计算公式，而是用控制长细比的方法来保证分肢的失稳不先于整个柱的失稳。按理只要分肢的长细比不大于整个柱的长细比就可以了，但考虑到两个(或多个)柱的压力不可能绝对相等以及各种缺陷的不利影响，因此将这一要求加以提高。分肢的长细比

应满足下列要求：

分别是缀条的中心距和缀板的净距，

，

是分肢截面绕弱轴的回转半径。

二是缀材面应该验算是否能承受剪力V：

是杆件的实际内力。由于压杆的屈曲实际是弯曲屈曲，有弯曲就有剪力，否则就很难理解怎么轴心压杆会冒出来剪力。这一条要求对于实腹杆也是必须要满足的，但实腹杆腹板的抗剪能力很强，一般都能自然满足，但对于格构柱，尤其是缀条柱，缀条应该有一定的刚度，这一点应该很自然就可以想到理应如此。

5.3 支撑

这里讲的支撑是指轴心压杆的支撑。其它的后面再讲。为了减小构件的长细比，有必要在构件屈曲的方向且要通过构件的剪心设置支撑，显然，支撑要有必需的刚度，能提供一定的支撑力。本次规范给出了该力的大小为：

，N为被支撑构件的最大轴心压力。 (5.1.7-1a) 老规范是该力的大小为剪力的大小，即

，其值见上小节。用剪力来计算支撑力缺乏根据，而且无法计算支撑多个柱所需要的支撑力。

式(5.1.7-1a)是根据压杆在有中间支点，反弯点弯矩为零，对支点的刚度要求而得到的近似值(见图7的计算简图)，比较准确。

如果被撑构件是系列柱,则在柱高度中间设一道支撑时,支撑力按下式计算:

,n是被撑柱的根数，

被撑柱同时存在的轴心压力和。

如图7.中，支撑杆A支撑了5根柱，则支撑杆A的支撑力为：

根据理论研究，支撑的强度和刚度要求随柱子数量都以二次方的速度增加，因此建议一道交叉支撑分担到被支撑的柱子数量不宜超过8~10根。

另外，规范还指出：当支撑同时承担结构上其它作用效应时，其相应的轴力可不与支撑力迭加。这主要是考虑支撑体系实际上还有很多有利的因素，如柱子的柱脚实际上并不是简支，还有墙皮等等。

5.4 拉弯构件和压弯构件

压弯构件是工程中常用的构件，如平台柱，框架柱,有中间荷载作用的桁架杆件等。这种构件兼有梁和柱的作用，因此有时称此类构件为梁柱。既然是梁柱，则此类构件的强度和稳定计算就一定兼有梁和柱的共同特征。

5.4.1拉弯和压弯构件的强度计算

强度计算按下列计算公式：

(5.2.1)

明显可以看出，上面的公式，就是轴心受压杆和受弯构件两者强度计算公式的结合，分母中截面塑性发展系数的概念在受弯构件中已经解释过了，完全一样。

5.4.2拉弯和压弯构件的稳定性计算

压弯构件通常采用双轴对称或单轴对称截面，其弯矩通常作用在对称轴平面内。当弯矩只作用在构件的最大刚度平面内时称为单向压弯构件;当两个主平面内都有弯矩作用时称为双向压弯构件。

压弯构件的承载能力通常由整体稳定性控制。单向压弯构件整体稳定的丧失有两种可能情况：

1. 构件在弯矩作用平面内的平面失稳——弯曲屈曲。

2. 构件在弯矩作用平面外的空间失稳——弯扭屈曲。

双向压弯构件则只有弯扭屈曲这一种形式。

5.4.2.1实腹构件弯矩作用平面内的平面失稳

弯矩作用平面内的平面失稳计算公式是根据截面边缘受压(或受拉)纤维达到屈服点并略有些发展作为极限状态，用相关公式来计算的，其计算公式为：

(5.2.2-1)

该公式实质是核算受压纤维是否达到屈服点。也可以理解为轴压杆平面内稳定的验算式和考虑修正以后梁整体平面内的抗压强度验算式的综合。

既然是核算受压纤维，因此

为截面对受压纤维的毛截面模量，

是引用了抗力分项系数1.1的欧拉临界力。由于基本公式是在压杆两端作用有等弯矩的情况下得到的，当有两端弯矩不等或有中间荷载的情况，可用两端作用等效弯矩

来代替其它的弯矩作用，因此

称为等效弯矩系数，具体数值规范有详细的规定。

对于单轴对称截面，有时两个毛截面模量会相差很大，可能会出现受拉纤维先达到屈服点，因此规范要求类似于T形的截面还应该按下式计算受拉侧是否满足下式：

(5.2.2-2) ,

是无翼缘端的毛截面模量。这里应该指出的是规范只要求对一端无翼缘的截面按此式进行计算，其实凡是单轴对称且两个方向毛截面模量相差较大的构件都应该按上式计算。

5.4.2.2实腹构件弯矩作用平面外的稳定计算

当压弯构件两个方向的刚度相差较大，弯矩作用在刚度较大的平面内时，如果构件侧向刚度较小又没有足够的侧向支撑，它就有可能首先发生侧向弯扭屈曲而丧失承载能力。

压弯构件弯矩作用平面外的稳定计算的相关公式是在理论分析的基础上结合试验研究成果建立的。其计算式如下：

(5.2.2-3) 很明显,这个相关公式就是轴心压杆的稳定计算式和梁的整体稳定计算式的耦合。前者与式 (5.1.2-1)一样，后者与式(4.2.2)相比则增加了截面影响系数

和等效弯矩系数。 因此,与以前涉及的柱与梁完全一样，规范只是简单的指出：“—弯矩作用平面外的轴心受压构件稳定系数，按5.1.2条确定。”实际上应该明确的指出对于单轴对称截面的稳定系数应按换算长细比查取。这里要再强调一下，单轴对称截面在绕对称轴弯曲屈曲时，必然伴随着扭转屈曲，对于扭转刚度较小的开口截面，不考虑扭转屈曲对临界荷载的降低影响是不安全的。 等效弯矩系数，与计算平面内的等效弯矩系数

意义一样，其数值也一样。

5.4.2.4 实腹双轴受弯压弯构件的稳定计算

弯矩作用在两个主平面内的双轴对称实腹式工字形和箱形截面的压弯构件，其稳定性按下列公式计算：

(5.2.5-1)

(5.2.5-2)

这两个公式其实是单轴受弯的压弯构件计算公式的延伸与组合，x,y分别为强轴和弱轴。这种延伸使得单轴受弯和双轴受弯的压弯构件的计算公式能相互衔接，同时与现有的试验结果相比较，稍为偏于安全。 有两点要指出的是：一是对于双轴受弯，工程设计一般总是选择双轴对称截面，所以该公式仅仅针对双轴对称截面;二是一般而言，总是绕弱轴的弯曲起决定作用，因而实际上公式(5.2.5-2)通常起控制作用，(5.2.5-1)只是在

的特殊情况(比如侧向支撑布置较密)，才起控制作用。

5.4.3 格构式压弯构件的稳定计算

5.4.3.1.弯矩绕虚轴作用时的稳定计算

1.弯矩作用平面内的稳定计算

格构式压弯构件绕虚轴的整体稳定和实腹式压弯构件绕弱轴的整体稳定计算基本一致,也是以边缘纤维屈服作为极限状态准则。如图8.(a)所示，绕x轴的弯矩为

，这就是弯矩绕虚轴作用的情况。其平面内稳定计算公式如下：

(5.2.3)

从形式上看，式(5.2.3)与(5.2.2-1)的区别，主要在后面的梁的整体弯曲项上，缺了截面发展系数,代替了0.8。这是由于格构柱截面是中空的，截面塑性发展的潜力不大，因此不考虑截面塑性的开展，取消了

。根据弹性理论分析，考虑压弯效应对弯矩的增大系数应该是

,

和考虑了抗力系数后的欧拉临界力

后，发现将0.8代替

，可使计算精度提高且运用方便，故而实腹式构件就用了0.8代替

，这些都是格构式截面不考虑塑性开展的缘故。另外要注意在式(5.2.3)中

,

该由换算长细比

决定，

是毛截面惯性矩，

为由x轴到压力较大的分肢腹板外边缘(如图8.a)或者是到压力较大的分肢重心线(如图8.b)。

2. 弯矩作用平面外的稳定

弯矩绕虚轴作用的格构式柱的平面外稳定是通过分肢的稳定来保证的，因为受压最大的分肢上的平均应力要大于整个构件的平均应力，而且前面已规定分肢的长细比不得大于0.7倍的整个构件长细比。因此可以用演算分肢的稳定来代替验算整个构件平面外整体稳定。

对于缀条式构件的分肢可以视为桁架的弦杆考虑为轴心受力构件，而对于缀板式构件则除了轴力以外，尚要考虑由剪力(取柱的计算剪力

和实际剪力中的较大值)作用引起的局部弯矩，按实腹式压弯构件验算分肢。分肢轴力的计算可以按图8.( c )所示：

对于分肢Ⅰ：

对于分肢Ⅱ：

分肢的计算长度与格构式轴压构件一样，不再重复。

5.4.3.2 弯矩绕实轴作用时格构柱的稳定计算

1.弯矩作用平面内的稳定计算

当弯矩绕实轴作用时，格构式压弯杆件平面内稳定计算与实腹式压弯构件一样，可以用式(5.2.2-1)计算，只需将

x,y互换就行了。其算式为：

2. 矩作用平面外的稳定计算

当弯矩绕实轴作用时，格构式压弯杆件平面外稳定计算与实腹式压弯构件一样，可以用式(5.2.2-3)计算，只需将x,y互换就行了，但

该由换算长细比

决定，且取

=1(由于截面绕弱轴的刚度很大)。其算式为：

3. 肢的稳定计算

在计算分肢稳定之前，首先要解决压力N和弯矩M各分肢上的分配。压力N按分肢轴线至X轴距离成反比的原则分配;弯矩M

按分肢轴线至y轴距离成反比及按分肢对y轴的惯性矩成正比的原则分配：其计算式如下：

对于分肢Ⅰ：

,

对于分肢Ⅱ：

,

5.4.3.3 弯矩作用在两个主平面内的双肢格构柱压弯的稳定计算

和实腹式双向压弯构件一样，双向压弯稳定的计算只是单向压弯的延伸与组合。整体稳定的计算公式为：

(5.2.6-1)_

分肢的稳定计算可以用上两小节的方法，分别求出两分肢的压力和弯矩

，然后按单向压弯构件计算分肢稳定，对于缀板式格构柱还要考虑柱的剪力(取柱的计算剪力

和实际剪力中的较大值)引起的局部弯矩

，此时的分肢应该按双向受弯构件计算。

5.5 受压构件的局部稳定

受压构件的局部稳定主要是柱翼缘板和腹板的宽厚比应满足一定的要求，这样可以保证局部屈曲不先于整体屈曲产生，不至于影响构件的承载力。事实上，在钢结构设计中，大量的构件都采取防止板件失稳的设计对策，防止板件失稳的有效方法就是限制它的宽厚比。确定宽厚比的限值，就是使板的临界应力至少达到板件可能受到的最大应力(与局部屈曲不先于整体屈曲产生的物理意义相同)。规范中一系列的公式的推导也是基于这一原则。

1. 对于轴心受压柱翼缘板自由外伸长度b与其厚度t之比应满足：

(5.4.1-1)

构件两个方向较大的长细比。当

时，

取

从上面的公式可以看出，当柱的长细比较大的时候，整体屈曲临界应力较低，局部屈曲的临界应力也应该相应降低，因此板的宽厚比可以取大一些。

2. 对于压弯构件，考虑翼缘可能进入塑性状态，因此板的宽厚比要限制的严一些：

(5.4.1-2)

3. 工字型柱的腹板计算高度h0与板厚tw考虑轴心受压时，应满足：

(5.4.2-1)

构件两个方向较大的长细比。当

时，

取

对于箱形截面应满足：

(5.4.3)

4. 工字型柱的腹板计算高度h0与板厚tw考虑压弯时，应满足：

当

时：

(5.4.2-2)

当

时：

(5.4.2-3)

是腹板边缘的最大压应力，计算时不考虑构件稳定系数及截面塑性发展系数;

腹板另一侧的应力，压取正，拉取负值。

构件在弯矩作用平面内的长细比。当

时，取

，

取

对于箱形截面可以取上面计算式的0.8倍，但不小于(5.4.3)的值。

在腹板宽厚比不满足上述条件时(柱的截面高度由长细比来控制时)，可以用两个办法来解决。一是加纵向加劲肋;二是在强度和稳定计算时，腹板仅考虑两端各20tw部分参与工作(计算长细比还是取全截面)。纵向加劲肋应该成对两侧配置，宽度大于10tw，厚度大于0.75tw

从上面的一系列规定可以看出，要减小柱腹板的宽厚比，只能通过加纵向加劲肋来解决，加横向加劲肋是没有任何意义的。当然,如果在柱受到有集中荷载的地方还是要考虑加横向加劲肋的,但如果集中荷载不是很大,而且翼缘的厚度满足一定的要求时,不一定非加加劲肋不可。关于这一点，规范在7.4 梁与柱的刚性连接中有明确的规定。对于截面高度比较大的柱子，考虑运输和安装，在柱的两端和中部，也应该加横向加劲肋，以增加柱抵抗变形的能力。

最后要指出两点：一是上述的规定，理论上不是很严格，是半理论，半经验的公式。二是当结构的设防烈度为7度时，上面板的宽厚比都为被抗震规范的要求所涵盖(抗震规范所要求的板的宽厚比要小一些)。

,