微积分的创建者（微积分的创立）

1.微积分思想的酝酿

微积分思想的历史萌芽，可以追溯到古代。在阿基米德、刘徽、祖冲之父子关于体积的计算中包含了无穷小求积过程，极限的思想与方法也十分明确。与积分学相比，微分学的起源则要晚很多。刺激微分学发展的主要数学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率和求函数的极大值极小值。但是，古代学者处理这些问题都是基于静态的观点。比如，把切线看做是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”，而不是把切线看做是“割线”的极限。

17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在：(1)由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时速度和加速度；(2)确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以及研究光线通过透镜而提出的切线问题；(3)求函数的最大值和最小值；(4)求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的重心，等等。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的新的数学工具。正是他们的努力，最终导致微积分的诞生。

下面将简要介绍几位先驱者的具有代表性的工作。

① 开普勒与旋转体体积

开普勒是现代天文学的创始人，他因行星运动三大定律的发现，被称誉为“天空的立法者”。开普勒的第二定律称：联结行星与太阳之间的焦半径在相等的时间里扫过相等的面积。为了估计出一个椭圆扇形的面积，开普勒将椭圆扇形分割成许多的小三角形相加。也许他认为自己只是在运用常识而已，然而，他已解决了一个积分学的问题。这种思想在他的《求酒桶体积之新法》(Nova stereometria doliorum vinariourum, Linz,1615)一书中有系统的阐述，开普勒应用粗糙的积分方法，求出了93种立体的体积，这些体积是圆锥曲线的某段围绕它们所在平面上的轴旋转而成的。

1613年10月30日，开普勒举行了他的第二次婚礼。他准备了几大桶葡萄酒，可是经销商计算酒桶体积的拙劣方法，促使开普勒思考如何计算这类问题，从而为积分学的发明奠定了基础。不过，当时开普勒的文章并没有受到人们的欢迎——或者说是无法看懂。人们还是用老办法来计算酒桶的容积，而议会的头头们则更是责怪开普勒，说他竟然去研究这些无用的数学游戏，而把绘制地图和编制《鲁道尔夫行星表》这样的头等大事给耽搁了，扬言要停发开普勒的薪水。

② 卡瓦列利(Bonaventura Cavalieri，1598-1647)不可分量原理

但是，有一个人读懂了开普勒，他就是意大利的数学家卡瓦列利。卡瓦列利1598年出生于米兰，15岁成为耶稣会教士，后就学于伽利略，从1629年起直到49岁逝世，任博洛尼亚大学的数学教授。他是那个时代最有影响的数学家之一，写了许多关于数学、光学和天文学的著作，并最先把对数引进了意大利。但是，他最大的贡献是1635年发表的一篇论文《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(Geometria indiisibibus continuorum no- ra quadam ratione promota,Bologna,1635)。尽管不可分量的思想可以追溯到古代希腊的芝诺和阿基米德，也许，更直接的启发是来自开普勒。

卡瓦列利的论文表述得比较模糊，但是，人们最终还是明白了他所谓的“不可分量”指的是什么：一个给定的平面片的“不可分量”是指该片的一个弦；一个给定的立体的一个“不可分量”是指该立体的一个平面截面。一个平面片被当做由平行弦的一个无限集合组成，一个立体被当做由平行的平面截面的一个无限集合组成。这个思想的通俗解释，就是我们常说的：积线成面，积面成体。

在卡瓦列利的论文中，有一条重要的命题：

如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。类似的，如果两个立体图形处于一对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等。

就是著名的卡瓦列利原理，我国的中学教科书中称其为“祖原理”。它观易懂，可解决许多复杂的体积问题。

③ 费马求极值的“虚拟等式法”

费马是一位律师，但他最大的兴趣是数学，他把业余时间几乎都用于数学的研究上，丢番图的《算术》是费马的“圣经”。费马发现“不可能把一个立方数分解为两个立方数之和，也不可能把一个四次方数分解为两个四次方数之和；一般地，不可能把任意高于两次的幂分解为两个同次幂之和”。用符号表示就是：方程Xⁿ Yⁿ=Zⁿ，当n＞3时，没有正整数解。费马自称“发现了一个美妙的证明，只是由于书的页边空白太小，没有能把证明写下来”。这就是300多年来吸引了无数数学家的“费马大定理”。直到1997年，才为维尔斯(Andrew Wiles)所证明。

费马在数学上的贡献是多方面的，如解析几何、概率论和数论。他关于微积分的早期研究使他可入先驱者之列。费马认真研读了开普勒的有关论文，希望能把开普勒的思想转化成一种算法，但是对韦达关于多项式系数与根的关系工作的思考，引导他发现了有关最值问题的一般算法，而这种算法正是微分思想的萌芽。据费马自己说：

我在思索韦达方法时……当时在细究它在发现方程的结构方面的应用时，一种可以用在寻找最大和最小值上的新方法涌上心头，通过这种方法，曾经困扰古代和现代几何的同条件有关的一些疑惑最容易被消除。

1637年，费马在其一份名为《求最大值和最小值的方法》的手稿中，使用了“虚拟等式法”。比如一个传统的问题：把定长的线段b分成两段x和b-x.何时乘积x(b-x)为最大？费马的方法是：以x e代替x，即x e≈x，因为

(x e)[ b-(x e) ]=b(x e)-(x e)²=bx be-x²-2xe-e²引入“虚拟等式”

x(b-x)≈(x e)[ b-(x e) ]

展开得

bx-x²≈bx be-x²-2xe-e²

消去相同的项，余项除以e，得

2x e≈b

舍弃含e的项，得真正等式

x=b/2

费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号e(费马写作E)代替了增量△。

④ 巴罗(Isaac Barrow，1630—1677)“微分三角形”

巴罗是剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，开设过初等数学、几何和光学等课程。他也是牛顿的老师。巴罗很富有个性，剑术高超、不修边幅、爱好抽烟。他最迷恋的还是神学，1669年，他接受了国王的邀请到伦敦担任“皇家牧师”，因而举荐自己的学生牛顿担任“卢卡斯数学教授”。由于担任过王室教堂主牧圣职，巴罗很快得到了剑桥大学三一学院院长的任命一一这正是巴罗渴望得到的职务。他也把自己全部精力投入到三一学院的建设与管理中，比如，在1672年至1677年这5年间，他几乎是单打独斗地建造了三一学院图书馆。也许是操劳过度，巴罗在壮年时猝死于任上。巴罗被后世评为复辟时期三一学院的最佳院长之一。当然，今天人们知道他，更多地因为他被誉为发现牛顿天才的“伯乐”。

巴罗在他的《几何讲义》(1669)中使用了“微分三角形”的方法来求曲线的切线。如图8.3所示，

有曲线f(x，y)=0，欲求其上一点P处的切线，巴罗考虑一段“任意小的弧”PQ，它是由增量QR=e引起的，PQR就是微分三角形。巴罗认为当这个三角形越来越小时，它与三角形PTM应趋于相似，记PR=a，TM=t，PM=y,故应有

近似有

f(x-e，y-a)≈f(x，y)=0

在上式中消去一切包含有e ，a的幂及乘积项，解出a/e，即得斜率y/t。巴罗的方法实质上是把切线看做当a和e趋于零时割线PQ的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限。

这一时期的代表人物还可以举出沃利斯(John Wallis，1616—1703)、罗伯瓦尔(Roberval，1602—1675)、格里高利(James Gregpry，1638-1675)等人，他们都为微积分的创立做了重要的工作。但是，其方法大多因人而异，各行其是。

其时，微积分的诞生正处于一个突破口，需要完成的任务是：

(1)澄清概念：比如何为“变化率”？何为“瞬时速度”？

(2)提炼方法：建立具有普遍意义的一般方法；

(3)改变形式：将几何形式变为解析形式，从而摆脱对具体问题的依赖；

(4)建立微分与积分的这是最重要的，也是最关键的。

最终完成这些任务的牛顿。正如美国数学史家M.克莱因所说：

数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中许多人作出的一点一滴贡献之上的。需要一个人来完成那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是伊萨克·牛顿。

2.牛顿的微积分

牛顿最初对微积分的思考发生在家乡躲避瘟疫的1665年至1667年的两年间。他在晚年时曾回忆说：

1665年初，我发现近似级数的方法，并得到将任何方次的二项式展开为级数的规则。同年5月发现了如何画曲线的切线；11月我发现流数术的直接法；次年2月创立颜色理论，5月我进入流数术的反演法，还开始研究重力对月球及其运行轨道的影响问题。

1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文《流数短论》，该文首次提出了“流数”的概念。1669年牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子，这本书直到1711年才出版。牛顿假定有一条曲线而且曲线下的面积为z(图8.4)，

已知有

z = axⁿ

其中n是整数或分数。他把x的无限小

的增量叫做x的瞬(moment)，并用o表示，由曲线、x轴、y轴和x o处的纵坐标围成的面积，用z oy表示，其中oy是面积的瞬，那么，

z oy= a(x o)ⁿ

将右边运用二项式定理展开，当n是分数时，得到一个无穷级数，与原式相减，用o除方程的两边，略去仍然含有o的项，得到

y = maxⁿ⁻¹

用今天微积分的语言来讲就是：面积在任意x点的变化率是曲线在x处的y值。反过来，如果曲线是y=maxⁿ⁻¹，那么，在它下面的面积就是z=axⁿ。

这里，牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。这个事实就是今天高等数学中的“微积分基本定理”。虽然牛顿的前驱者们在特殊的例子中知道并且也模糊地预见到了这个事实，但是，牛顿看出它是普遍的。他应用这个方法得到了许多曲线下的面积。

牛顿对微积分的探讨奠基于他的无穷小方法。瞬是无穷小量，是不可分量，或者说微元。当然，这种方法必须和二项式展开紧密结合起来，经过消去瞬的高阶无穷小才能达到。因此，这样做在逻辑上不清楚。牛顿自己也认识到了这一点，他在《分析学》一文中就说到他的方法“与其说是精确的证明，不如说是简短的说明”。

《自然哲学的数学原理》(1687)是牛顿献给人类文明的一部杰作，全书以三条力学定律为基础，利用数学方法阐明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且证明万有引力定律与开普勒第三定律的等效性，此外还将微积分的方法应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至整个宇宙体系，充分显示了微积分这一新的数学工具的威力。正是这本书给牛顿带来了崇高的荣誉，哈雷向国王推荐此书，说到“如果有一本书是值得王子一看的，那么一定要把这本包含了如此多的对自然世界的伟大发现的巨著敬献给国王陛下”。据说，法国著名数学家拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange,1736—1813)读完《原理》后感叹到“牛顿是历史上最杰出的天才，也是最幸运的，因为宇宙的体系只能被发现一次”。爱因斯坦也十分推崇牛顿的功绩，说“至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来代替牛顿的关于宇宙的统一概念”。

不过，无论是当时还是现在，《原理》都是一本使人感到畏惧的书，主要原因是因为《原理》是用几何的语言写成的，而不是用“分析”的语言。不过牛顿在书中熟练地使用极限方法进行数学论证，为此，他在《原理》第一编第一章专门论述“初量与终量的比值方法”，其中第一个引理是：

引理1 量以及量的比值，在任何有限的时间范围之内连续地向着相等接近，而且在该时间终了前相互接近，其差小于任意给定值，则最终必然相等。

正是利用这一极限方法，牛顿证明了许多物理学中的结果。在他以几何为基础的物理论证中，几乎都使用了同样的三个步骤：首先在有限的区域建立一个结果，接着断定即便某些量是无穷小结果也成立，最后将这个新结果应用到有限的情形。所以，在《原理》中证明关键之处经常可以读到“在无穷小的情况下,有……”，这几乎就是今天微积分中的“在极限的情况下成立”。

当然，牛顿知道那些抱守传统数学方法的人会反对他的这一概念。在第一章的附注中，牛顿试图答复他的批评者：

可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而且当他们消失时，比率也没有了，但根据同样的理由，我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它达到之前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。也就是说，物体到达其最后处所并终止运动时的速度，用类似方法，将消失的量的最后比可以理解为既不是这些量消失之前的比，也不是之后的比，而是它消失那一瞬间的比。

也许觉得这样解释太多依赖运动的直观性，接下来牛顿转向了更数学化的语言：

量消失时的最后比并不真的是最后量的比，而是无止境减少的量的比必定向之收敛的极限，比值可以小于任何给定的差向该极限趋近，决不会超过，实际上也不会达到，直到这些量无限减少。

牛顿的这些话中已明确地使用了“收敛”、“极限”，以及“小于任何给定量的差”，如果把它翻译成代数语言就相当于给出“极限”的一个定义；当然这个定义并不等价于现代的定义，因为它仍然没有摆脱“运动”，但是已经十分接近。

尽管作出了如此详细的说明，牛顿的做法还是招致了一些批评，其中来自贝克莱主教(Bishop George Berkely,1685—1753)的批评最为猛烈，他对牛顿这样“招之即来，挥之即去”处理无穷小的做法很不满意，挖苦地称牛顿的最终比是“消失量的鬼魂”。其实，在微积分创立之初，整个逻辑基础存在着很大的缺陷，但是人们当时的注意力集中在微积分算法的有效性，致力于扩大微积分的应用范围，微积分基础的严密性直到20世纪才得以完成。

3.莱布尼兹及其对微积分的贡献

莱布尼兹是17世纪伟大的全才，在微积分的发明上是牛顿的竞争者，他1646年出生于德国莱比锡。莱布尼兹6岁失去了父亲，但在这以前，他已从父亲那里承继了对历史的爱好。虽然莱布尼兹在莱比锡进了学校，但他主要是靠不断地阅读父亲的藏书自学。8岁时他开始学习拉丁文，12岁时已经掌握了它，能够准确地用拉丁文写诗。学了拉丁文，他又继续学习希腊文，也是主要靠自学。

莱布尼兹15岁时进了莱比锡大学学习法律。不过法律并没有占去他的全部时间。他开始广泛阅读哲学著作，知道了开普勒、伽利略和笛卡尔所发现的新世界。莱布尼兹了解到只有熟悉数学的人，才能懂得这个比较新的哲学，这样，他又把兴趣转向了数学。

1666年，莱布尼兹向莱比锡大学申请博士学位，但是被校方拒绝，理由是他当时还不到20岁。其实这只不过是个借口，实际的原因是他知道的法律知识比那些迟钝的学究们加在一起知道的还要多。莱布尼兹厌恶莱比锡的教师们的褊狭，永远地离开了他的家乡，前往纽伦堡。1666年11月5日，在纽伦堡大学，凭借有关讲授法律的新方法的论文，他不仅被立刻授予博士学位，而且被请求接受该大学的法学教授职位。但是，莱布尼兹谢绝了 ——他的心中有更大的抱负。

1666年对牛顿来说是创造奇迹的一年，对莱布尼兹来说也是伟大的一年。在他称之为“中学生随笔”的《论组合的艺术》中，这个20岁的天才立志要创造出“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用的语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理”。这一思想实在是太超越他的那个时代了——直到20世纪的今天，人类借助高速计算机才真正实现莱布尼兹的梦想。

莱布尼兹那篇使他获得博士学位的论文得到了美因茨选帝侯的赞赏，这使得他被委以各种重任，先是被指定去修改法典，然后是去做外交官。一直到1690年，莱布尼兹对他那个时代的现代数学几乎还是一无所知。当时他26岁，在巴黎的外交事务中结识了物理学家克里斯蒂安·惠更斯(1629-1695)，惠更斯送给莱布尼兹一份他自己的关于钟摆的数学著作。莱布尼兹被数学方法在行家手里产生的力量迷住了，他请求惠更斯给他上课。惠更斯也看出莱布尼兹具有第一流的数学头脑，高兴地答应了。那时莱布尼兹已经用他自己的方法——普遍符号语言的侧面——作出了一系列的发明。其中一个是远比巴斯卡的机器优越的计算机器，巴斯卡的计算机器只能做加法和减法，莱布尼兹的机器除加减法外，还能做乘法、除法和开方。现在，有了惠更斯的指导，莱布尼兹很快就发现了他自己——一个天生的数学家！

1673年1月到3月，莱布尼兹作为选帝侯的外交顾问出访伦敦。不过繁忙的外交事务并没有使他忘掉数学。在伦敦期间，他拜访了一些英国的数学家，参加了皇家学会的会议。他在那儿展出了他的计算器，也向英国的数学家学到了有关无穷级数的知识。这吸引了莱布尼兹的极大兴趣，他立刻利用这种方法作出了关于π的表达式：

惠更斯对莱布尼兹离开巴黎期间做出的工作非常高兴，他鼓励莱布尼兹继续做下去。莱布尼兹把他所有的空闲时间都用在数学上了，在1676年离开巴黎去汉诺威为布伦斯威克公爵服务之前，已经作出了一些微积分的基本公式，并且发现了“微积分学的基本定理”。现在，这些公式对于微积分的初学者已经很容易了，但是它们却曾使得莱布尼兹和牛顿在发现正确的途径之前苦思良久、反复试探。这儿有一个例子可以说明微积分走过的曲折道路。如果u和v分别是x的函数，那么怎样以w相应于x的变化率表示u和v分别相应于x的变化率呢？用符号来说就是，

之间的关系是什么？莱布尼兹一度认为应该是

，这与正确的形式

毫无相似之处。

莱布尼兹一生余下的40 年是在为布伦斯威克家族的毫无价值的服务中度过的。作为这个家族的图书管理人，他有充足的空闲时间探讨自己喜爱的学问。结果是他写下的关于各种课题的论文几乎堆成了山。1682年，他创办了《博学学报》，并任主编。他的大部分数学论文发表在这个杂志上，这个杂志在欧洲大陆得到广为流传，从而为莱布尼兹赢得了广泛的声誉。1700年，莱布尼兹创办了柏林科学院，并且致力于在德累斯顿、维也纳和圣彼得堡创办类似的学院。

莱布尼兹生命的最后7年，是在别人展开的他和牛顿谁最早独立发明微积分的争论的煎熬中度过的。历史的事实是：他们都是独立地发现了微积分。牛顿发现在先，而莱布尼兹发表得早。由于狂热的英国人拒绝接受莱布尼兹的微积分符号系统，从而给英国数学带来了巨大的危害，而在欧洲大陆，经过莱布尼兹追随者的努力，微积分得到了迅速的发展。

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