高中数学最难的十种题（数学题进化史从一道单调性题看高中数学如何命题）

假期时间比较充裕，在群里晃荡的时间长了点。

在帮几位家长判断了下他们手里的高中数学课程配套题目的难度后，我发现手头的素材正好支持写一篇技术文。

因为我在评判的时候，要求家长们都提供单调性的题目截图，所以我手里集合了大概四五个版本，不同难度课程的的单调性题目，同一题型的不同难度题目正好都有。

于是我们就可以从对这些题目的分析中一窥高中数学命题的一些思路——如何增加难度，也可以从这些题目的解决中体会如何运用化归思想对一些比较难的题目进行分析、转化。

首先我们来看这道题目，这是抽象函数单调性里最简单的题目了。

毫无难度是吧？

就是考察学生对单调性的认识，会利用单调性比较函数值大小。

解答过程就一步。

这种题吧，就毫无价值。

如何增加这道题目的难度呢？

与上一题相比，自变量从确定变成了不确定，题目从直接的判断函数值大小变成了根据函数值大小和单调性判断自变量大小。

加参数，是常见的增加难度的方式。

相较于上一题，思路无非是倒了过来，顺带加了一个不等式计算，所以解法多了一步。

这种题吧，在教辅里出现一次就够了，出现第二次就是多余。

如果对此还不满意，那我们可以继续如何处理呢？

那就给定义域加一个限制吧。

此时除了根据单调性和函数值大小关系列出自变量大小关系之外，两个自变量还必须满足定义域的的限制。

这就是增加了解题需要考虑的因素，需要学生对于定义域的概念认识很到位，知道考虑函数问题首先要考虑定义域。

从上一题的一个不等式变成了三个不等式，提高了对学生的要求。

这就是一个比较典型的题目了，可以在此基础上围绕定义域、自变量形式进行变化，但思路都是一致的，需要考虑的易错点也是一致的。

这种题，大概有资格在一些高中教辅中出现，但难度类比大概就是普通高中普通班吧。

好吧，出题老师觉得这些变化都弱爆了，没啥意思，毫无技术含量，有辱自己的声誉，于是他决定在上题的基础之上稍微变形。

这下除了单调性，又加上了奇偶性，这样学生在之前题目的基础上，还需要结合两个性质构造出函数的图像——开口向上的关于y轴对称的类抛物线图形，然后将函数值的大小关系转化为两个自变量绝对值的大小关系。

这就使得题目变成了一个小小的综合题——综合了单调性、奇偶性、定义域、图像、轴对称函数的函数值大小关系。

相较于上一题，涉及的知识点变多了，解题的流程变长了，运用的手段也丰富了。

这种题目大概可以在普通高中重点班，重点高中普通班的教辅、考试中露个脸。

出题老师心满意足，拿着这道题去找年级备课组长，准备出在这周的周考里，谁知道组长看了之后，轻蔑的微微一笑，把他的题目改的面目全非。

年轻老师看到后，才发现自己还是太天真。

相较于自己上一道题，这道题虽然去掉了奇偶性，但是需要根据抽象函数性质判断单调性，还需要通过题目给出的运算性质转换成之前那种函数值不等式，再利用单调性解决问题，同时仍然需要考虑定义域。

相较于自己的题，通过构造判断抽象单调性对于一部分学生来说是很生疏的内容，使得解题过程拉长，加大了难度。

这就是出在难点上了，妙啊！

这种题目就在重点高中普通班里算是中上难度，在重点班里就一般吧，在一些普通同步教辅中算是靠后的题目了。

他刚要夸两句，却发现备课组长双眉紧皱，似乎还不是特别满意，“这个题出的太多了，好多孩子都把这种题型记住了，直接套对数函数模型，没意思，要不换换吧。”

年轻老师看着这道题目，有些犹豫，这道题目和之前的类型看上去有些类似，难度和上面哪道题目差相仿佛，但其实考察的点就不太一样了，之前是抽象函数单调性，这道题目就变成了直接判断分段函数单调性了——需要根据x范围进行分类讨论，可能还需要画出图像来判断函数的单调性。

重要的是学生要能够通过观察解析式找到分类讨论的思路，提高了切入的门槛，数形结合是解决这个问题的关键思路。

从解题步骤上看感觉很简洁，但其难度比上一题略有下降，但实则也不容易。

正在两个人讨论之际，高一年级清北班的数学老师抱着Hello kitty保温杯走过来看热闹，“这个题太简单了吧，没啥区分度啊，正好我刚才看见了一道题目，你们看看怎么样？”

这道题相较于上一题，难度更上一层楼。

虽然核心的考察点不变，但真的可谓是面目全非了。

学生首先需要根据已知的不等式构造出一个新的函数，并确定这个函数的单调性，根据函数单调性再结合分段函数图像——一元二次和绝对值函数，进行分类讨论，构造出关于b的不等式，求解。

构造是一关，分类讨论又是一大关。

极其考察学生的洞察力以及对于分段函数的认识。

这种题目不是那种机械叠加难度，而是考察学生的观察、思维能力。

也就重点高中重点班中等难度吧。

神仙打架啊啊啊啊啊，年轻教师内心里高喊：打起来打起来！

早就听说两位大佬不太对付，这次直接Battle了！

之间备课组长微微一笑，头顶一抹亮光倏然一闪，似乎带着杀意，“你说的对，我也正觉得有些简单了，要不这样吧，你看这个题咋样，估计你们班的那些崽子们会喜欢的！”

这这这，不讲武德啊！

这明明是道综合题，先利用奇偶性求出两个函数的解析式，然后还需要利用倒数关系进一步构造，最后还要用对勾函数和恒成立问题，才能求出a的范围。

被组长硬生生加了个底数挂上了单调性的边，每一块都不简单，就这么糅合在一起......

这就是暴力美学啊啊，年轻老师在心里呐喊道。

看着Kitty老师不太好的神色，他赶紧拿起组长改过的卷子，送到文印室排版印刷去了。

就这样，这次的月考就出现了一道让学生们无比怨念的题目。

“谁这么变态啊！”

考试结束，走廊里一片哀嚎，只有备课组长往自己的灌篮高手主题茶杯里加了几粒枸杞，慢条斯理的走进自己的班级。

“同学们啊，你们这次考试让我很失望，真的是我教的这几届里最差的一届了。

就这道题，你们告诉我有什么难度？

有什么难度嘛？

哪个知识点咱们没有讲过，哪个思路咱们没有分析过，无非就是综合在一起了嘛，怎么就做的这么差劲呢？

这说明什么？

说明大家还没有拆分题目的能力，遇到看上去复杂的题目就慌神，你冷静一点怕什么？”

“就第一个条件就有两种处理手法，我们没有讲过？

你们翻开教辅第**面，你们自己看，是不是一模一样？

这种技巧咱们当初反复强调过，怎么换一个位置就不会了呢？

总是强调做题不能只埋头做，要记忆、要总结，有些同学要反思，到底当初做题的时候用心了没有？

不管这道题你会不会做，解答题，你第一步总要给我搞定吧！

总得把f(x)和g(x)给我求出来吧，总得利用单调性把底数给我去掉吧，总得把f(x)和g(x)解析式给我代入不等式吧？

这么明显的切入点你们找不到，要不要我给你们每个人都发一个灯笼考试带着啊？

这些常规的步骤分你们都拿不到，你们对得起我嘛？

你们不怕出教室被老天爷劈了嘛？

天理不容啊简直！”

“不等式全都变出来了，你们自己观察观察结构，这种结构多典型？

你们怎么就想不到构造完全平方和立方差呢？

这种互为倒数的形式，出题老师是看它们顺眼才这样出的嘛？

他闲的没事了？

这种结构，不这样用你们说咋用？咋用？嗯？

说了多少遍了，特定结构特定处理方法，你们怎么就不留意呢？

只要构造出来，那不就是送分的？

后面恒成立和对勾函数不就是送的？

最可气的是某某同学，你前面都搞定了，你不知道换元时需要前后范围一致？

还有某某某同学，那都是个正值了，你分参啊！

恒成立你不分参？

你们是要急死我嘛？”

“这道题充分体现出来相当一部分同学缺乏做大题的能力，知识掌握不够全面，对于一些常规处理方式掌握不好，对于特殊的结构不够敏感，综合能力不够，思路不明确，做题随波逐流，没有攻坚意识，细节掌握不到位，知识有死角......

你们要好好反思！

下课！"

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