算尽圆周率（神机妙算圆周率）

如今，圆周率“π”的值已经被计算到了小数点后万亿位。但你知道，在科技并不发达的古代，先辈们都是如何神机妙算的吗？

最完美的圆

自古以来，“圆”都是让人最感兴趣的几何图形之一。天上的日月星辰、眼睛的瞳孔，乃至人类发明的车轮，都和圆密不可分。

春秋战国时期，墨子给出了圆的定义：“圆，一中同长也。”也就是说圆上的每一点和圆心的距离都相等。因为圆的这种迷人的特性，古今中外有很多人都认为圆是世界上最完美的图形。受这种观念的影响，哥白尼在提出日心说时，也认为各个行星是在圆形轨道上围绕着太阳公转的—尽管后来证明并非如此。

张衡的粗略结果

在关于圆的问题上，历史最悠久、最为人津津乐道的莫过于圆周率的计算了。为什么要计算圆周率呢？比如古人们为了增强木质车轮的耐磨性，要在车轮的外围包一层铁皮，那么他们要剪一块多长的长条形铁皮才能将车轮包起来？又比如，古人想做一个圆形的篱笆，将家里的牲畜围起来，那么篱笆的长度应为多少呢？种种与圆有关的问题，都涉及一种计算，那就是当已知圆的直径时，如何算出圆的周长。这是世界数学史上的一个重要课题。

对圆周率准确值的探寻，就是为“圆的周长是它直径的多少倍”这个问题寻找答案的过程。最容易想到的方法当然是动手测量，经过多次重复测量之后，人们发现圆的周长大约是它直径的3倍。《周髀》大概成书于公元前1世纪（唐初改名为《周髀算经》），是中国最早的天文学和数学著作，里面就记载有“周三径一”的说法。但是现实中的测量受到测量工具的精度的影响，只能得出一个粗略结果。

东汉的张衡从研究圆与它的外切正方形的关系着手，得到圆周率的值约为3.162。这个数值比“周三径一”要准确一些，但也比较粗略。

刘徽的割圆术

生活在三国时期的刘徽认为，用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆的实际周长相差很多。而如果圆的内接正多边形的边数越多，它的形状就会越接近圆，因此只要用一个边数足够多的正多边形来“模仿”圆，然后计算这个多边形的周长，就可以得出更为精准的圆周率近似值。正多边形的边数越多，得出的结果就越准确。这个方法被称为“割圆术”。

刘徽从直径为2尺（那时的1尺约相当于现在的0.23米）的圆内接正六边形开始割圆，依次得到正十二边形、正二十四边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差就越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。他一直计算到圆的内接正一百九十二边形，此时得出圆周率的两个近似值：3.14和3.1416，这是当时世界上最精确的圆周率值。

祖冲之的精确计算

南北朝时期，祖冲之（及他的儿子祖暅）在刘徽的基础上更进了一步。虽然没有直接的记载，但一般认为他继承了刘徽的割圆术，他通过对圆内接正六千一百四十四边形和正一万二千二百八十八边形的面积的计算，精确地得出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。

在当时的知识水平和工具条件下，要算出小数点后7位数的精确结果，不仅需要智慧，还需要付出大量的时间和精力，即便在世界数学史的浩渺长河里，祖冲之的计算也是很了不起的成就。而西方直到差不多1000年后的1424年，才由波斯数学家阿尔·卡西算出六十进制下小数点后的第9位小数，相当于十进制下的第16位小数，算是打破了祖冲之创下的纪录。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”（22/7），另一个是“密率”（355/113），其中密率精确到了小数点后第7位。而约率的值，西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，比祖冲之晚了1100年。

祖冲之对圆周率数值的精确推算值足以让他名垂史册，后人还把“约率”命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。为了纪念祖冲之的功绩，1967年，国际天文联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将1888号小行星命名为“祖冲之星”。

随着数学和计算技术的飞速发展，如今圆周率的计算结果已经远远超出了计算所需要的精度，而发展成为展示计算机运算能力的工具。但我们不应该忘记，在数学的荒芜时代里，先辈们为了追求真理所付出的孜孜不倦的努力。

本文来自《少年科学画报》