相交线与平行线重点难点归纳（相交线与平行线）

本章有两个知识点很重要，一是一条直线与另一条直线相交，即两条直线相交产生的四个角之间的关系；二是两条直线被第三条直线所截产生的八个角之间的关系.

一、认识相交线

（一）两条直线相交产生的四个角之间的关系

1． 邻补角.

如图1，画平角AOB，则∠AOB=180°.接着画射线OC，如图2，则平角AOB被分割为两个角∠AOC与∠BOC，∠AOC ∠BOC=∠AOB=180°.∠AOC与∠BOC互为邻补角.两个角互为邻补角要满足两个条件：（1）有一条边互相重合（OC为两个角的公共边）；（2）另外一条边互为反向延长线.

还可以通过另外一种作图法来理解邻补角.如图3，已知∠AOC，反向延长射线OA，得到射线OB与∠BOC，如图4，∠AOC与∠BOC互为邻补角.在图3中，也可反向延长射线OC，得到射线OD与∠AOD，如图5，∠AOC与∠AOD互为邻补角.

2. 对顶角.

通过上面的作图我们得到：一个小于180°的∠AOC，可以画出它的两个邻补角∠BOC与∠AOD.而且我们知道，∠AOC ∠BOC=∠AOB=180°，∠AOC ∠AOD=∠COD=180°，根据“同角的补角相等”，可以得到∠BOC=∠AOD.从下页图6中，我们可以发现∠BOC与∠AOD不仅在数量上相等，而且这两个角还有特殊的位置关系：这两个角有公共的顶点，∠BOC的两边分别是∠AOD的两边的反向延长线.像∠BOC与∠AOD这样的两个角，有公共顶点，其中一个角的两边是另外一个角的两边的反向延长线，我们称之为对顶角.下页图6中还有一对对顶角：∠AOC与∠BOD.在上述探究的过程中，得到对顶角的性质：对顶角相等.

在图6中，我们还可以发现，直线AB与CD相交于点O，一个周角被分割成四个小于180°的角：∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD.这四个角有公共顶点O，存在两种位置关系.（1）互为邻补角，共有四对角：①∠AOD与∠AOC；②∠AOC与∠BOC；③∠BOD与∠BOC；④∠BOD与∠AOD.（2）互为对顶角，共有两对角：①∠AOC与∠BOD；②∠BOC与∠AOD.

在图7的∠1，∠2，∠3，∠4四个角中，若有一个角为90°，则这个角的两个邻补角都是90°，根据对顶角相等，它的对顶角也是90°.也就是说这四个角中，只要有一个角是90°，其他的三个角也是90°.当两条直线相交时，产生四个角，只要有一个角为90°，我们就说这两条直线互相垂直.

（二）一条直线分别与两条直线相交产生的八个角之间的关系

研究完两条直线相交产生的四个角之间的关系，接下来我们研究一条直线EF与两条直线AB，CD分别相交的情形，如图8.直线EF与直线AB相交产生四个角∠1，∠2，∠3，∠4，这四个角之间只有两种关系：邻补角和对顶角.直线EF与直线CD相交产生四个角∠5，∠6，∠7，∠8，这四个角之间也只有两种关系：邻补角和对顶角.接着我们研究直线AB，CD被第三条直线EF所截得的八个角中没有公共顶点的两个角之间的关系，即∠1，∠2，∠3，∠4这四个角中的一个角与∠5，∠6，∠7，∠8这四个角中的一个角之间的关系.为了便于表述，我们把直线EF称为截线，把直线AB，CD称为被截线.

1． 同位角.

同位角，顾名思义是同样位置的角，同样位置是指两个角位于截线的同一侧，同时也要在两条被截线的同一侧.观察图8中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.

∠1与∠5位于截线EF的右侧，同时位于被截线AB，CD的上方，所以∠1与∠5是同位角.

∠2与∠6位于截线EF的左侧，同时位于被截线AB，CD的上方，所以∠2与∠6是同位角.

∠3与∠7位于截线EF的左侧，同时位于被截线AB，CD的下方，所以∠3与∠7是同位角.

∠4与∠8位于截线EF的右侧，同时位于被截线AB，CD的下方，所以∠4与∠8是同位角.

我们可以发现互为同位角的两个角组成的图形特别像字母“F”或字母“F”旋转、翻折后的样子.可以得到这样一个结论：两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中有四对同位角.

2． 内错角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中，夹在两条被截线之间（称之为“内”）并且在被截线的两侧成交错状（称之为“错”）的两个角为内错角.如上页图8中的∠3与∠5，∠4与∠6.

∠3与∠5位于截线EF的两侧，同时位于被截线AB，CD之间，所以∠3与∠5是内错角.

∠4与∠6位于截线EF的两侧，同时位于被截线AB，CD之间，所以∠4与∠6是内错角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中只有两对内错角.我们可以发现互为内错角的两个角组成的图形像字母“Z”或者字母“Z”旋转、翻折之后的样子.

3． 同旁内角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中，夹在两条被截线之间（称之为“内”）并在截线的同侧的两个角为同旁内角.如上页图8中的∠3与∠6，∠4与∠5.

∠4与∠5位于截线EF的同旁（右侧），同时位于被截线AB，CD之间，所以∠4与∠6是同旁内角.

∠3与∠6位于截线EF的同旁（左侧），同时位于被截线AB，CD之间，所以∠3与∠6是同旁内角.

两条直线被第三条直线所截，产生的八个角中只有两对同旁内角.我们可以发现互为同旁内角的两个角组成的图形像字母“U”或者字母“U”旋转、翻折之后的样子.

二、认识平行线

在同一平面内，两条不重合的直线只能有两种位置关系：相交和不相交.平面内两条直线不相交，我们说这两条直线平行.直线a与直线b平行，记作a∥b.

如何判定两条直线互相平行呢？

同学们学过利用直尺和含30°角的三角尺画平行线（如图9）.这种作图实际上就是把三角尺的60°的角从点E平移到点G，实际上是通过保证同位角相等的手段，画出了两条平行线.我们认可这个做法，将其作为一个基本事实.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图10，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有四对：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.这四对同位角只要有一对相等，根据基本事实，就可以判定直线AB∥CD.

图10中内错角有两对：∠3与∠5，∠4与∠6.我们锁定∠3与∠5，猜想：若∠3=∠5，则直线AB与CD平行.我们应想办法把内错角转移到同位角上.∠3有没有同位角？有，∠3的同位角是∠7.∠7与∠5有没有关系？∠7与∠5是对顶角.对顶角有何关系？对顶角相等！所以∠7=∠5.又因为∠3=∠5，所以∠7=∠3，我们推出了同位角∠7与∠3相等，所以AB∥CD.

刚才的猜想和推理过程用数学语言这样写：

已知：如图10，直线AB，CD被直线EF所截，∠3=∠5.

求证：AB∥CD.

证明：根据对顶角相等，知∠7=∠5.因为∠3=∠5，所以∠7=∠3.又因为∠7与∠3是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，所以AB∥CD.

根据上述的探究，我们得到：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.

同学们可以用同样的探索思路与方法来探究：同旁内角互补，两直线平行.

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