怎么用凑微分法求不定积分（凑微分是求不定积分的基础）

#创作挑战赛#

求不定积分的方法有很多，最基础的是换元积分法和分部积分法，而这两种基本方法，都离不开同一个基础的基础，那就是凑微分。凑微分其实是利用函数的微分等于导数与自变量微分的积来进行的。即f'(x)dx=df(x).

虽然实际运用的过程中变化多端，但万变不离其宗，首先我们要把概念掌握扎实牢固，才能融会贯通，应对千变万化的积分问题。下面几道抽象的概念积分题，就是为了帮你理解概念，掌握概念的。

问题一：求∫(f′(x))/(f(x))dx.

解：原积分=∫(df(x))/(f(x))【第一步就是凑微分】

=∫du/u=ln|u| C【u=f(x)，这一步是换元，可以省略的(下同)。写出来是为了方便观察，凑微分后得到的不定积分，是结果为自然对数的不定积分公式。因为1/u就是ln|u|关于u的导数. 在没有明确u的符号性质时，要加绝对值符号】

=ln|f(x)| C. 【重新代入u=f(x)就可以了，下同。】

比如：求∫cotxdx.

tanx=cosx/sinx，这个不定积分中，f(x)=sinx, f'(x)=cosx，请自行完成。从而得到余切函数的不定积分公式。

问题二：求∫(f′ (x))/(1 (f(x))^2)dx.

解：原积分=∫(df(x))/(1 (f(x))^2)【第一步还是凑微分】

=∫du/(1 u^2)=arctanu C【凑微分后得到的不定积分，是结果为反正切函数的不定积分公式。因为1/(1 u^2)就是arctanu关于u的导数】

=arctanf(x) C.

比如：求∫dx/(x(1 (lnx)^2)).

这个不定积分中，f(x)=lnx, f'(x)=1/x，请自行完成。

问题三：求∫e^f(x)f’(x)dx.

解：原积分=∫e^f(x)df(x)【第一步仍然是凑微分】

=∫e^udu=e^u C【凑微分后得到的不定积分，是以e为底的指数函数关于u的不定积分，结果仍是它本身加常数C】

=e^f(x) C.

比如：求∫xe^(x^2)dx.

这个不定积分中，f(x)=x^2, f'(x)=x/2. 但问题中并没有系数1/2，因此要构造出这个系数来，就要再继续乘以2保持结果不变。请自行完成。

问题四：求∫(f(x))^af’(x)dx.

解：原积分=(f(x))^adf(x)【无一例外的，第一步都是要凑微分，不过这次要分情况讨论】

当a≠-1时, 原积分=∫u^adu=u^(a 1)/(a 1) C 【这种情况下，凑微分后得到的不定积分，是幂函数的复合函数的不定积分，要运用幂函数的不定积分公式】

=(f(x))^(a 1)/(a 1) C.

当a=-1时, 原积分=∫1/(f(x))df(x)=ln|f(x)| C.【这种情况下，凑微分后得到的不定积分，是结果为自然对数函数的不定积分公式的运用】

比如：求∫(cosx)^3*sinxdx.

这个不定积分中，f(x)=cosx, f'(x)=-sinx. 请自行完成。注意符号性质的变化。

如果你认真学完这篇文章，并完成了几道例题，肯定会对不定积分的求法，有一个更清晰的认识的。