九年级数学上册知识重点总结（九年级数学上册第一单元知识点总结）

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文章来源：中考网

第一章 证明

一、等腰三角形

1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

2、性质：

⑴ 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

⑵ 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)

⑶ 等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)

⑷ 等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。

⑸ 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

⑹ 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。(可用等面积法证)

⑺等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

• 特殊的等腰三角形——等边三角形

1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。

(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。

2、 性质 ：

⑴ 等边三角形的内角都相等，且均为60度。

⑵ 等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶ 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

3、判定：

⑴ 三边相等的三角形是等边三角形。

⑵ 三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶ 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

二、直角三角形全等

1、 直角三角形全等的判定有5种：

⑴ 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)

⑵ 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)

⑶ 三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)

⑷ 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)

⑸ 斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)

2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半

3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

4、垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。

6、角平分线上的点到角两边的距离相等。

7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。

11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。

三、平行四边的定义

1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，

2、性质：

⑴ 平行四边形的对边相等。

⑵ 对角相等。

⑶ 对角线互相平分。

3、判定：

⑴ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑵ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑶ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

⑷ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑸ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

⑹ 一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。

• 两个假命题

⑴ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。

⑵ 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。

四、矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

2、性质：

⑴ 具有平行四边形的性质，

⑵ 对角线相等，

⑶ 四个角都是直角。

⑷ 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

3、判定：

⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形。

⑵ 对角线相等的平行四边形是矩形。

五、菱形

1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、性质：

⑴ 具有平行四边形的性质,

⑵ 四条边都相等,

⑶ 两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

3、判定：

⑴ 四条边都相等的四边形是菱形。

⑵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

六、 正方形

1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

3、判定：

⑴ 有一个内角是直角的菱形是正方形;

⑵ 有一组邻边相等的矩形是正方形;

⑶ 对角线相等的菱形是正方形;

⑷ 对角线互相垂直的矩形是正方形。

七、梯形

定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

八、 等腰梯形

1、定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

九、三角形的中位线

1、定义：连接三角形两边中点的线段。

2、性质：平行于第三边，并且等于第三边的一半。

十、梯形的中位线

1、定义：连接梯形两腰中点的线段。

2、性质：平行于两底，并且等于两底和的一半。

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