数学这个符号什么意思(数学在你心中是什么符号)

撰文林开亮(首都师范大学数学博士,现任教于西北农林科技大学理学院)

我是周星驰朱茵版《大话西游》的忠实粉丝,里面的许多经典对白,都被我搬进了课堂。比如,上学期最后一堂课是高等数学课程的考前答疑,我是这样开场的:“大家学了一个学期的微积分,我很想知道,数学在你心目中,究竟是个问号还是个惊叹号?”大部分人都回应说,是问号。然而,当我继续问“那么,你的问题在哪里呢?”台下就一片沉默了。大家不吭声,也许是因为问题太多了,简直没法提;又或者是多数人但求考试通过,对疑惑是避之唯恐不及,不愿更不敢面对自己的问题。

其实,不光我班上的学生,对大多数人来说,数学可能都是一个大大的问号。他们可能难以理解,数学在某些人的心目中竟然是个惊叹号(正如紫霞之于至尊宝)!在至尊宝心目中,紫霞是美的;在某些人的眼里,数学也是美的。紫霞的美是一望即知而雅俗共赏的,而数学的美,往往不是一眼就能看出的,需要心领神会。一旦你见识过数学的美,就必然会同意,数学是个惊叹号。如果你不信,我想先举一个简单的例子:鸡兔同笼。这是中国古代著名趣题之一,记载于《孙子算经》,现在通常拿来考小学生。小学生没学过方程组,这种题目就有点难了。

她的解法是对的。这种解法被称作“假设法”。其出发点是,假设全都是鸡(或者兔),也就是她在题目之后写下的第一句话。然而,这个方法并不好理解。很可能她的母亲看到这句话就迷糊了:兔就是兔,怎么能假设兔是鸡呢?可以想象,如果老师在课堂上只教这种解法,效果可能不好。

对于这个问题,我要介绍一个更好懂的方法,它是由张景中院士提出来的。张景中院士是著名的数学家,出版过许多面向中学生的优秀数学科普著作,其代表作是《数学家的眼光》。

对鸡兔同笼问题,张景中院士是这样分析的:

鸡有 2 条腿,兔有 4 条腿,出现了不平等。但实际上,也是平等的:本来鸡也有 4 条“腿”,只是其中 2 条是翅膀。35 个头本来应该有 35×4=140 条腿,为什么只有 94 条腿呢?因为翅膀不算腿,所以有140-94=46 个翅膀,从而鸡有 46÷2=23 只,兔子有 35-23=12 只。

很明显,张景中院士的解法更好懂。兔是鸡或鸡是兔这样荒谬的假定,根本用不着。他只是把鸡的翅膀算作了腿(以达到鸡与兔腿数的平等,这样更好算),这就是数学家的眼光。要领略到数学的美,感受到数学中的惊叹号,就需要这种眼光。

说到鸡兔同笼问题,我想在这里跟大家分享一下杨振宁先生在《我的学习与研究经历》(news.sciencenet/htmlnews/2012/2/259877.shtm)中的一段感悟:

我父亲是研究数学的,我小时候他很自然地给我讲了一些“鸡兔同笼”、“韩信点兵”等四则问题。我学得很快,他很高兴。很多年以后在美国,我有三个孩子,他们小时候我也给他们介绍“鸡兔同笼”、“韩信点兵”等问题,他们也都学得很快,我也很高兴。可是我与他们有一个区别:我父亲介绍给我四则问题之后,过了一年他再问我,我都记得很清楚;我的孩子们,我一年后再问他们,他们就把四则问题完全忘得精光。结论:外来的信息如果能够融入个人脑子里面的软件之中,就可能会“情有独钟”,有继续发展的可能,像是一粒小种子,如再有好土壤、有阳光、有水,就可能发展成一种偏好(taste),可以使这个人喜欢去钻研某类问题,喜欢向哪些方向去做“准备工作”,如果再幸运的话,也就可能发展出一个突破口,而最后开花结果。

如果你要考察小朋友是否在数学方面有兴趣(也就是杨先生所谓的偏好),不妨学他们父子的办法,用“鸡兔同笼”问题试一试。(“韩信点兵”确实难了一点,据我的了解,普通的大学生可能都难以胜任;它不只是简单的数的加减乘除四则运算,而是地地道道的数论。)

杨振宁先生的文章《我的学习与研究经历》特别强调了他总结出的科学研究过程三部曲:兴趣 → 准备工作 → 突破口。照我的理解,这个三部曲可以用惊叹号和问号来改写:! → ? → !

为给出这个解释,我想先借用陶渊明的《桃花源记》中的诗句。所谓兴趣(第一个“!”),就是“晋太元中,武陵人捕鱼为业。缘溪行,忘路之远近,忽逢桃花林,夹岸数百步,中无杂树,芳草鲜美,落英缤纷。渔人甚异之,”,其着眼点在“异”,讶异;所谓准备工作(中间的“?”),就是“复前行,欲穷其林。林尽水源,便得一山。山有小口,仿佛若有光。”“仿佛若有光”就是看到了希望。至此,突破口已经呼之欲出了:“便舍船从口入。初极狭,才通人。复行数十步,豁然开朗。”豁然开朗了,才能真正领悟其真谛(第二个“!”)。

现在你看出,第一个惊叹号与第二个惊叹号是有本质差别的:前者是莫名奇妙的讶异(惊);后者是心领神会的欢喜(叹)。连接两者的问号,代表的是最曲折艰辛的漫漫求索,在陶渊明的诗句中则以“仿佛若有光”形如其最佳状态。“仿佛若有光”就是似懂非懂而接近于懂,就是得道的前兆。美国数学家沙利文(D. Sullivan)曾在访谈中提及这种妙不可言的状态:

许多数学家主要是受他们要简化或理解的欲望所驱使的。你要权衡。最理想的位置是,你有着丰富的现象以及似懂非懂的地方,懂得太多,其“熵”反而低些。这种多少有点矛盾的情况最为理想。

第一个“!”代表的“甚异之”,和“?”代表的“仿佛若有光”,以及第二个“!”所代表的“豁然开朗”,可以把面对“芳草鲜美,落英缤纷”的人分成四个范畴:第一个范畴是没兴趣的;第二个范畴是有兴趣、但仅仅停留在好奇阶段的;第三个范畴是在冥思苦想但尚未发现真理的;第四个范畴是经历整个过程而发现了“世外桃源”的。大多数科学家的常态都属于第三范畴。

首先要指出,不必所有人都对同一个东西(比如数学)感兴趣。一个人对一样东西是否感兴趣,往往取决于天性与机遇。天性难以改变,机遇方面似乎又可遇不可求,但总有一些经验值得我们借鉴。作为例子,请允许我讲点我个人的情况。现在我从事数学科普的写作,有三个人对我影响最大:首先是我的姑妈,她是小学数学老师,在给我数学启蒙时注意到我有数学头脑,并一直鼓励我钻研数学;第二个是我的初二语文老师,她讲课认真,写得一手好文章,鼓励作为理科生的我多读多写;最后一个是杨振宁先生,机缘巧合之下,我有幸蒙他指点,写了一篇关于他的同事数学物理学家戴森(Dyson)的传记(详见《戴森传奇》),得到他首肯和鼓励。遵循他的建议,在取得数学博士学位走上工作岗位之后,我坚定不移地踏上了科普写作的道路。我知道前路漫漫,但我乐此不疲。从前思考数学时,我常常犯懒;现在,我的写作一天都停不下来。

我想,科普的一个重要目标,就是要吸引更多的读者到第二个范畴(甚异之)和第三个范畴(仿佛若有光)。德国数学家察吉尔(Don Zagier)举过一个例子,可以帮你判断一个人是否有当数学家的潜质:

我喜欢显式的、可动手实践的公式。对我来说,它们本身就很优美。它们可以很深刻,也可以很简单。例如,设想你有一串数,它们满足这样的性质:其中任意一个数加上 1 以后得到的数,恰好是前后相邻两数的乘积。那么这一串数必在五步之内循环。比方说,如果你从 3, 4 开始,那么这串数是 3, 4, 5/3, 2/3, 1, 3, 4, 5/3,…,在五步之内循环。数学家与非数学家的区别,不在于能否发现像这样的东西,而在于是否关心它、并对它为什么正确、有何意义、与数学中其它东西可能存在的联系而好奇。在这个特殊的例子中,结果表明,这个简单的断言与高水平数学中许多深刻的课题有关:双曲几何,代数 K- 理论,量子力学的薛定谔方程,以及量子场论的某些模型。我发现,这种非常初等的数学与非常高深的数学之间的联系极其优美。

这段话取自我跟几位朋友合译的一本数学家相册(《当代大数学家画传》,上海世纪出版),最初翻译时我并没有意识到他举的这个例子(五步之内循环的递归数列)多么美妙。几天前我才突然想起,很久以前曾在加德纳(Martin Gardner)的数学科普书《矩阵博士的魔法数》中读到过这个例子及其推广:

矩阵博士从两个数 a, b 开始,用函数(1 b)/a产生递归数列的算法,涉及到一个很宽泛的研究领域,其中存在着大量尚未解决的问题。一般来说,对任意的正整数 n,人们试图找出 n 个变量的有理函数,使得由它生成的递归数列是循环数列并且其循环步数达到最长。对 n=2 的情况,赖尼斯(R. C. Lyness)撰文讨论过实现五步循环的函数,至今尚不清楚是否有函数递归实现更长的循环步数?当 n=1 时,此类函数中最简单的,当然是1/a,在两步之内实现循环;最长的循环步数为 3,由函数1/(1-a)递归实现。在 n=3 的情况,已知的最长循环步数为 8,由函数递归实现;例如,如果初始值取 a=1, b=2, c=3,那么数列是1, 2, 3, 6, 5, 4, 5/3, 4/3, 1, 2, 3…,八步之内循环。在 n=4 的情况,已知的最长循环步数为12,由函数 ad/(ac-b) 递归实现,这是康威(John Conway)发现的。

这个经历告诉我两点:第一,我可能没有当数学家的潜质;第二,作为一名有志于科普的作家,我要向加德纳前辈多多学习,他是一个有品味的数学科普大师。顺便提一句,加德纳的许多科普小品都已集结出版,并且有中译本,值得推荐给所有对数学感兴趣的读者。在他那些妙笔生花的文章里,你可以看到数学中许许多多的惊叹号!

当然,科学家做研究,其终极目标当然是进入第四范畴:追求“豁然开朗”,乃至发现(也许,一个更有抱负的说法是“开辟”) “世外桃源”。在许多人物传记中,你可以读到他们对灵光一现的美妙瞬间的捕捉与形容,最刺激的画面莫过于阿基米德发现浮力定律时的裸奔,那已成为流传千古的大惊叹号!阿基米德当时呼喊的“Eureka”,翻译过来就是“我得道了!”

这个故事背后的数学与物理,我不打算复述。取而代之,我想再讲两个有关联的例子,一个是他人分享的“似懂非懂”,一个是留给读者自己去经历的“豁然开朗”。

第一个例子来自物理学家费曼(Feynman),他不仅是荣获诺贝尔奖的科学大师,也是加州理工学院富有魅力的物理教师,其脍炙人口的三卷本《物理学讲义》风靡全球。比尔盖茨不久前在博客上撰文,称自己是费曼的铁杆粉丝(详见《比尔·盖茨:此生未遇的良师——费曼》)。

估计是因为他的自传《别逗了,费曼先生》和《你干嘛在乎别人怎么想?》栩栩如生,费曼的读者和粉丝遍及各行各业。比如前两年很火的一个综艺节目“爸爸去哪儿”中,有个小朋友就叫 Feynman。可以想见,他的父亲吴镇宇就是费曼的粉丝。在回答南都娱乐的提问“为什么儿子叫 Feynman?”时,吴镇宇这样回答(我很少听闻其他演员对科学有如此境界):

Feynman 是一个科学家的名字。你知道,演员永远都是伸手拿东西的。如果没有科学家,我们可能到不了天上。Feynman 他爸爸(指吴镇宇本人)已经是伸手讨饭吃了,儿子应该帮我还债。有些科学家成就很高,但生活没太大乐趣。但那个叫 Feynman 的科学家不是,他很懂得平衡生活。

这里我们不拟涉入费曼多姿多彩的生活,他的书里有生动的描述。我想跟大家分享一下他曾经疑惑的一件事,在其中他经历了陶渊明诗中武陵渔人的全部历程(引自费曼的演讲集《发现的乐趣》):

好,我继续讲我作为一个数学青年的亲身经验。

我父亲告诉我的另一件事情——我不能很好地解释它,因为这与其说是告诉,倒不如说是启迪——所有的圆,不论尺寸多大,其周长与直径的比值都是一样的。对我来说,那并不是太难理解的,但是这个比值有一些奇妙的特性,那是一个美妙的数字,一个深奥的数字,π。 作为一个青少年,当时我还不能完全理解这个数字的奥秘,但这是个非同寻常的东西,我从此到处留心寻找这个 π。

后来在小学,我学到怎么求小数,在怎么求三又八分之一时,我写下 3.125,我认为,这是圆的周长与直径之比 π 的另一种写法。老师把它纠正为 3.1416。

我用这些事情为例来说明一个影响。那儿有个秘密,有个关于数学的疑惑,这个想法——而不是那个数字本身——对我很重要。好久以后,我在实验室——我说的是我自己家里的实验室——做实验,到处胡乱拨弄——不,对不起,我从来不做实验,从来都是到处胡整。我做收音机和小机械,四处胡乱拨弄。渐渐地,通过书和手册,我开始找到一些适用于电学、把电流和电阻联系起来的公式。有一天,在看一本书上时,我找到振荡电路的频率的一个公式:

数学这个符号什么意思(数学在你心中是什么符号)(1)

其中 L 是电感,C 是环路的电容。这个有个 π,但是圆在哪里呢?你们在笑,但我当时十分严肃。π 原本是与圆有关的一个东西,现在从电路中出来了一个 π,那么圆在哪里呢?你们这些在笑的人,你们知道这个 π 是怎么来的吗?

我不得不爱这个东西,不得不去寻找它,思考它。然后我认识到,线圈当然是做成圆形的。大概半年以后,我发现另一本书,书上的线圈有的是圆的有的是方的,而这些公式中都有 π。我认识到 π 不是从圆形线圈中来的,我又开始思考。现在我对 π 的理解比较好了,但是在我心中,我仍然不清楚那个圆在哪儿,π 从哪儿来。

我们把少年费曼的这个疑问留给有兴趣的读者。如果你想获得提示或核对答案,可以参见美国物理学会对他的访谈档案(aip/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/5020-1)。费曼的例子属于似懂非懂(估计他是故意这么发问,以启迪有兴趣的读者),还有待豁然开朗。我觉得下面一个例子更简单,可以让学过复数的读者豁然开朗。欧拉(Euler)的下述公式,几乎已经被奉为数学之美的首选代言:e^iπ) 1 = 0

英国当代数学领袖阿蒂亚爵士(Sir Atiyah)在最近的一个访谈(详见《阿蒂亚:美妙的数学之梦》)中提到:

通过向数学家展示各种方程,并用磁共振成像(fMRI)记录其大脑反应,我们发现,在 60 个备选公式中,被认为最美的,是上述欧拉公式。它用到了圆周率 π;欧拉常数 e(≈2.71828);虚数单位 i;以及 1 和 0 ——将数学里所有最重要的东西融合到一个公式中,这个公式真的很深刻。所以大家公认为,这是最美的方程。我曾说过,欧拉公式之于数学,恰如哈姆雷特的名句“生存还是毁灭”(To be, or not to be)之于文学——它们都非常简洁,非常深刻。欧拉公式只使用五个符号,但包含了美妙而深刻的想法,简洁是优美的重要成分。

毫无疑问,对那些第一次见到这个公式的人,其第一反应必定是一个大大的惊叹号——你肯定会觉得奇妙,这是真的吗?如果你把它当作一个优美的事实直接接受,那就失去一个进入桃源仙境的绝佳机会了。

数学这个符号什么意思(数学在你心中是什么符号)(2)

图片来源:姜文导演的电影《让子弹飞》

面对这个公式,一般的读者跟说这话的阿蒂亚是有本质差别的:一般的读者只是停留在第一个惊叹号的阶段(莫名其妙的讶异,是不懂),而阿蒂亚以及有点数学见识的人(至少包括学过复变函数的所有人),则看透了其简单的本质(心领神会的欢喜,懂了)。两者之间相差的,是对 e^iπ 乃至更一般的以虚数 it 为自变量的指数函数 e^it 的理解,这是关键所在。我想把这个问题留给有兴趣、乐于思考的读者,我相信你也会从“仿佛若有光”而达到“豁然开朗”的奇妙境地。据我的体验,你一旦理解了这个公式的本质,就可以对费曼的那个疑问得到更深刻的洞察。

我发现不少通俗文章写得过于详细,以至于读者被牵着鼻子走,甚至没有思考的余地。所以我时刻提醒自己,切忌“知无不言、言无不尽”。我只要播下种子就好,因为在后面的剧情中,主角换人了。


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赛先生系今日头条签约作者。

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