蝴蝶定理五大结论：蝴蝶定理之八

01

已知：如上图，H为锐角△ABC垂心，

O为BC中点，过H的OH的垂线交AB、AC于M、N。

求证：OM=ON

（2011年摩尔多瓦数学奥林匹克试题）

思路分析：看到垂直，想到蝴蝶定理，

做出高线，则由垂心性质O为圆心，从而得证。

证明：做出高线BE,CD则他们都过H，

显然BDEC共圆，且O为此圆圆心。

由MN⊥OH,

根据蝴蝶定理知HM=HN,

则OM=ON

注：蝴蝶定理的精髓就是由垂直得到等线段。当然此题也可以进一步改编为HM=HN <=> OM=ON<=> MN⊥OH。

02

已知：如上图，O、H分别为△ABC外心、垂心，CA>CB,CH交AB于D，

E在BC上，且ED⊥OD。

求证：∠EHD=∠B

(1996年第37届IMO预选题)

思路分析1：作出BC中点Y,只需证明DY⊥HE,

而这由九点圆及ODEY共圆及中位线定理即得。

证明1：设BC中点为Y，OH中点为Ni,OE中点为Q，

依题意OY⊥BC,QY=0.5OE=QD。

由九点圆定理知NiD=NiY,故NiQ⊥DY,

又NiQ//HE,则HE⊥DY,

则∠EHD=90°-∠HDY=90°-∠DCB=∠B,

思路分析2：看到垂直，想到蝴蝶定理，

做出外接圆，结合鸭爪定理即得。

证明2：如图，作出圆O，延长CD交圆O于H',

延长ED交AH'于F。

由鸭爪定理，知DH=DH’,

由蝴蝶定理，知DF=DE,

故EH//AH',

故∠EHD=∠AH'C=∠B,

注：

1）思路1巧妙利用九点圆的性质及中位线定理，通过移形换位得到HE⊥DY，从而完成证明。

2）证法2利用蝴蝶定理及鸭爪定理迅速秒杀问题。对鸭爪定理感兴趣的读者可以参考前面 本公众号写过的两篇文章[1],[2]。

3）当然本题还有其他的证明方法，利用三角计算或者相似等也能完成。

4）本题图形常规、结论优美的出人意料，上述两种证法都简洁明了，但是都过于“巧妙”，普通学生如果不了解蝴蝶定理、鸭爪定理、九点圆定理等则很难想到如此巧妙的解法。此类问题作为练习还算合适，不过作为大型竞赛题目略显美中不足，因为让人感觉“不公平”，可能这也是这道漂亮的IMO预选试题最终没有入选IMO真题的原因吧。

03

已知：如图，圆O为△ABC外接圆，DA为圆O切线，D，E在BC上，且DC=DE，AC//EF，

求证：OD⊥DF

（2018年浙江杭州二中高中招生考试题）

思路分析1：看到平行及中点，自然想到倍长中线，

从而需证OF=OH,

联想到圆幂定理，需证FA*FB=HC*HA=FE*FI,

从而需证ABIE共圆，

这由切线及平行倒角即得。

证明1：

如图，延长AD交FE于I，延长FD交AC于H，

设r为圆O半径，

由D为中点及AC//EF,得

FE=HC,AC=EI,DH=DF,

由DA与圆O相切及平行

得∠I=∠DAH=∠B,

故BAEI共圆。

则HC*HA=FE*FI=FA*FB,

即HO^2-r^2=FO^2-r^2

故HO=FO,

又DH=DF,故OD⊥DF。

思路2：看到证明垂直，想到圆外蝴蝶定理逆定理，即可。

证明2：

如图，延长FD交AC于H，

由D为EC中点及AC//EF,得DH=DF,

由圆外蝴蝶定理的逆定理知OD⊥DF

注：本题是许康华老师告知作者的，证法1是本人的思路。解答发出来以后，好像是潘成华老师指出其本质为蝴蝶定理，从而得到证法2。

04

如图，BD,CE是△ABC高线，AF是中线，GA⊥FA，GA与ED交于G。

求证：∠GFA=∠AFC

（平面几何100题第85题）

思路分析：想到蝴蝶定理即得。

证明：延长GA交BC于I，

依题意BCDE在以F为圆心的圆上，

由圆外蝴蝶定理得GA=IA,

则∠GFA=∠AFC。

注：本题出自网上广为流传的“高中联赛难度几何100题”，这100道题目都是出自田开斌老师的讲义。此100题中有10多道都和蝴蝶定理有关，本讲上述第1题为其中的第42题及86题（此两题基本重复、解答不同），上述第2题为其中的87题。田老师解答中也是用蝴蝶定理解决以上问题的。对此有兴趣的读者可以参考田老师的新浪博客，他的网名是“杏坛孔门”。当然此题是特殊的蝴蝶定理，也可以通过计算或者其他的方式证明。

本篇文章讲述了如何利用蝴蝶定理解决一些竞赛题目，百变不离其宗，一言以蔽之：看到与连心线垂直就要想到蝴蝶定理！

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