初中几何拔高题解析（初中几何二级结论）

题目1:在三角形ABC中，∠BAC=90°，BD=DE=EC，AE=3，AD=4，求DE=（√5）。

结论：三角形中线长公式（阿波罗尼奥斯定理）：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的两倍。

解题思路：AD、AE分别是△ABE和△ADC的中线，设BD=DE=EC=x，在△ABE中，AB ² AE ² =2（AD ² DE ²）

AB ² 3 ² =2（4 ² x ²）

AB ²=23 2 x ²

同理，在△ADC中，AC² 4²=2（DE² 3²）

AC²=2 2 x ²

根据勾股定理，AB ² AC²=BC ²=（3x）²=9x ²

23 2 x ² 2 2 x ²=9x ²

X=√5

DE=√5

题目2：在三角形ABC中，BD为AC边上的高，CE为AB边上的高，点G为BC的中点，点F为DE的中点，求GF和DE的关系。

结论：圆心与弦中点的连线垂直于弦。

由题目已知，BD⊥AC，CE⊥AB，E、B、C、D四点共圆，圆心为G点，ED为圆的弦，且F为ED的中点，连接GF，则GF垂直ED。

题目3：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在BC、AB上，求DN/AM的值（4/5）。

结论：两组邻边分别相等的四边形称为筝形，其主要性质为轴对称，对称轴为不相等的一对角的对角线所在直线，该线垂直平分另一条对角线。

解题思路：根据题意，四边形ABCD为筝形，连接AC和BD交于F点，对称轴为AC，其垂直平分DB。

在△DNB和△AMC中，∠DBN=∠ACM（∠α ∠θ=90°），

∠DNB=∠AMC=90° ∠β

故△DNB∽△AMC，

DN/AM=DB/AC。

上图可知，Rt△ADC∽Rt△AFD∽Rt△DFC，DF/AF=CF/DF=DC/AD=5/10。

设CF=x，则DF=2x，AF=4x

DB=4x，AC=5x，

DB/AC=4/5= DN/AM

题目4：在三角形ABC中，AB=8，AC=6，∠A=2∠B，求BC为（2√21）。

结论：斯库顿定理：三角形内角平分线长的平方与其对边所成两条线段积的和，等于夹这角两边的积。简单记忆为中方=上积-下积

先过A点作∠BAC的角平分线AD，根据角平分线性质，BD/DC=8/6=4/3。

设BD=4x，DC=3x，AD=BD=4x。

根据角平分线长公式AD²=AB·AC-BD·DC

（4x）²=8·6-4x·3x

X=2/7 √21

BC=7x=2√21

题目5：在正方形ABCD中，E为AD的中点，CE交BD于F点，AF交BE于O点。求∠AOE的值（90°）。

结论：在正方形的对边分别取点并连接，所得两条线段①若垂直，则相等；②若相等，则垂直（正方形中的“十字架模型”性质）。

解题思路：延长AF交DC于M点。E为AD的中点，ED/BC=1/2。

△EFD∽△CFB，FD/FB= ED/BC=1/2。

同样，△ABF∽△MDF，DM/AB= FD/FB=1/2。

故M为DC的中点，△ADM≌△BAE

AM=BE

根据正方形中的“十字架模型”性质，AM⊥BE，

∠AOE=90°。