整除与余数问题（整除或余数的规律）

先列举部分整除或余数的规律，今天小编就来聊一聊关于整除与余数问题?接下来我们就一起去研究一下吧!

整除与余数问题

先列举部分整除或余数的规律

规律1.自然数除以2的整除（余数）规律

完全取决于个位数，个位能被2整除该自然数就能被2整除，个位除以2的余数就是该自然数除以2的余数。

规律2.自然数除以5的整除（余数）规律

完全取决于个位数，个位为5或0则该自然数就能被5整除，个位除以5的余数就是该自然数除以5的余数。

规律3.自然数除以3的整除（余数）规律

自然数的所有位数之和能被3整除则该自然数能被3整除（如果位数和是多位数，可以循环将和的位数相加得新数，直到最终位数和为小于10的数，最终和为3、6、9则原自然数能被3整除，其他则不能），余数规律同整除。

规律4.自然数除以9的整除（余数）规律

自然数的所有位数之和能被9整除则该自然数能被9整除（如果位数和是多位数，可以循环将和的位数相加得新数，直到最终位数和为小于10的数，最终和为9则原自然数能被9整除，其他则不能），余数规律同整除。

规律5.自然数除以7、11、13的整除（余数）规律（通常用于较大自然数的计算）

规律5.1：百十个组成的数 减去 切除个十百位后的新数的差。如5016取决于16-5=11，11能被11整除，但不能被7和13整除，故5016能被11整除，不能被7及13整除；又如：1001取决于001-001=0，则1001能被7、11、13整除。

如果自然数过大，则将该自然数从右往左每3位分一段，高位不足3位添0，得一系列3位数；这一系列数从右往左（或从左往右）分别用减、加、减、加…….所得的数除以7、11、13的余数与原自然数除以7、11、13的余数相同。如：123123321321543543可以截成543、543、321、321、123、123,543-543 321-321 123-123=0，则123123321321543543能被7、11、13整除，如果系列数运算结果不是0则可以单独运算。如果系列数运算结果仍然很大，可以循环分段计算。

规律5.2：对自然数除以11而言，还可以将自然数两位两位分段，然后将分段的数相加，再除以11，也可以循环。如902,09 02=11，故902能被11整除；又71225,25 12 7=44，44能被11整除故71225能被11整除。循环的例子就不枚举了。

上述规律的知识点看似乎比较多，部分知识点很多人没有直接学习过，遇到需要应用的时候往往不能解决问题。本文将由浅入深理解计算整除（或余数）规律的方法（截数法），用此方法可以推算出上述及更多的知识点，在没学或忘记的情况下可以自己推算出规律来。

一、能被2整除的规律

重点不是记住规律，而是要理解计算规律的方法，后续其他数将按照此思路进行计算其规律。

(一)10以内的规律

个位数为0、2、4、6、8能被2整除，个位数能被1、3、5、7、9不能被2整除

（二）两位及以上的自然数能被2整除的规律

规律仍然为个位数为0、2、4、6、8能被2整除，个位数能被1、3、5、7、9不能被2整除，其原因为：

假如一个1位以上的自然数，我们把它截成两部分

十位及以上的数、个位数

那么该自然数=十位及以上的数×１０＋个位数

因为１０能被２整除，所以该数除以２的余数就与个位数除以2的余数相同，也就是说，一个自然数能否被2整除完全取决于个位数能否被2整除。

如2897=289×10 7，2897能否被2整除取决于7能否被2整除，7不能被2整除，故2897不能被2整除

二、能被5和10整除的规律

用计算能被2整除规律方法可知：能被5整除的数必须个位数为0或5；能被10整除的数的个位数必须为0。

三、能被3整除的规律

（一）10以内的自然数

能被3整除的数只有3、6、9

（二）两位及以上的自然数

将该自然数分解为：

个位 10×十位＋100×百位 1000×千位……

即：个位 (9 1)×十位＋(99 1)×百位 (999 1)×千位……

因为：9、99、999……均能被3整除

所以：该自然数除以3的余数等于所有位数之和除以3的余数；换言之，一个数的所有位数之和能被3整除则该自然数就能被3整除，和不能被3整除则该数也不能被3整除。

如：12345=5 10×4 100×3 1000×2 10000×1

=5 （9 1）×4 （99 1）×3 （999 1）×2 （9999 1）×1

5 4 3 2 1=15，15能被3整除，故12345能被3整除

延伸：如果自然数所有位数和大于9，则可以再次将和的各位数相加，如相加之和仍大于9则一直循环至最终和为个位数为止，最终和为3、6、9则能被3整除，其他则不能。

上例：15循环位数和，1 5=6，6为3、6、9之一。

而12346的位数和为16，再位数和为7,7不是3、6、9之一，故12346不能被3整除

四、能被9整除的自然数的规律

用能被3整除的数的方法可知：

能被9整除的数的规律是所有位数和能被9整除；如果用3的延伸方法，能被9整除的数的最终和等于9，最终和为其他数则最终和就是原自然数除以9的余数。

如：12348的位数和为18,18能被9整除，故12348能被9整除

延伸法：将18再次位数和为9，最终和为9，则12348能被9整除；而12347位数最终和为8，则12347不能被9整除（8为12347除以9的余数）

五、能被4、8、6整除自然数的规律

（一）4的规律

因为4×２５＝１００，故一个自然数能否被４整除取决于去掉百位及以上的数只保留个十两位数的新数能否被４整除。

又因为４×５＝２０，每20一循环

故如果十位数是奇数，则个位必须为2、6（如12、16）才能被4整除；如果十位数是偶数，则个位必须是0、4、8（20、24、28）才能被4整除。

如：123456，只考虑个十两位56，5为奇数，个位6为2、6之一，故123456能被4整除；而123458的十位5是奇数，个位8不2或6，故123458不能被4整除。

又如：123466，只考虑66，十位6是偶数，个位6不是0、4、8之一，故123466不能被4整除；而123468就可以被4整除。

（二）8的规律

8×12５=1000；8×2５=200；8×13=104=100 4

规律一：能否被8整除取决于个十百三位数。

规律二：如果百位数为偶数，取决于个十两位数。

规律三：如果百位数为奇数，取决于个十两位数组成的新数减去4的差。

如：9120，只考虑个十百120，百位数1为奇数，则个十位数20-4=16,16能被8整除，故9120能被8整除；

又如9420，只考虑420,4为偶数，则只考虑个十位20,20不能被8整除，故9420不能被8整除；而9624的个十两位为24,24能被8整除，故9624能被8整除。

（三）6的规律

首先得是偶数，其次得能被3整除

六、7、11、13的规律

（一）共性

因为7×11×13=1001=1000 1（1000=1001-1）

把数分为两部分：千位及以上数 个十百

该数为：千位以上组成的数×(1001-1) 个十百

=千位以上组成的数×1001 - 千位以上组成的数 个十百

1001能被7、11、13整除，故该数能否被上述3数整除取决于：个十百 减去 千位以上组成的数的差（- 千位以上组成的数 个十百）。如5016取决于16-5=11，11能被11整除，但不能被7和13整除，故5016能被11整除，不能被7及13整除。

延伸：如果自然数过大，则每3位分一段；从右往左（或从左往右）分别用减、加、减、加…….所得的数

如： 123456780111分段为123、456、780、111（分段从右边开始往左边分，高位位数不足3位则用0填补，如：6321分为006、321）

123-456 780-111或111-780 456-123得336或-336

336=3×112=3×16×7，故336能被7整除，不能被11及13整除，也就是说123456780111能被7整除，不能被11及13整除。

（二）个性

1.7的个性（可用于3位数快速运算）

7×14=98 （98 2=100）

故7还取决于：个十 百位及以上×2。如105取决5 1×2=7；112取决于12 2=14等。

2.11的个性

11×9=99=100-1（100=99 1）

故11能否整除取决于将数每两位分隔所得数之和。

如：1001取决于10 01；10011001取决于10 1 10 1=22

延伸：如果一个数过大，则从个位开始每两位截断，将所有数相加之和，如果之和仍然较大，则循环截断后求和，最终所得之数的个十两位如相同，则原数能被11整除，否则不能。

上例：123456780111（12,34,56,78,01,11）可以截断为11、01、78、56、34、12,11 01 78 56 34 12=192；192继续截断求和92 1=93,9和3不同（两位数能被11整除，则个位和十位必然相同），故123456780111不能被11整除。

又如123456780117（12,34,56,78,01,17）可以截断为17、01、78、56、34、12, 17 01 78 56 34 12=198,198继续截断求和98 1=99,99的个位和十位相同，故123456780117能被11整除。

3.13的个性（常用于3位数速算）

13×8=104=100 4(100=104-4)

故13能否整除取决于：个十 – 百位及以上×4

如：123,23-1×4=19,则123不能被13整除

而247,47-2×4=39=3×13，则247能被13整除

七、其他规律

（一）17的规律

由于17×6=102=100 2（100=102-2）

故17的规律是：个十两位数 – 2×截掉个十两位的数

如：119 取决于19-2×1=17

（二）19的规律

由于19×5=95=100-5（100=95 5）

故19的规律是：个十两位数 5×截掉个十两位的数

如：114取决于14 5×1=19，能被19整除

结束语：总之，解决整除问题（余数问题）重点不是记住具体的规律，而是理解计算规律的方法，就是忘记了规律的情况下也可以推算出规律。当然，能将规律多记在日常学习中可以提高效率。

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