数学的六大基本原理(给我印象深刻的一些数学思想)

已经和即将谈到的这些数学思想,有的偏于实操技术层面,有的偏于理论指导层面,大家不用对“思想”这个词是否准确太较真。只要多领悟这些数学思想的本质,多观察这些数学思想的应用,从而在解决问题时随手拈来就够了。

上一期谈到利用一一对应来解决两个或多个集合(比如整数、偶数、自然数等等,都是数字集合)所含元素多寡的比较问题,本身这一思想是很朴素的,即几乎是我们司空见惯,但又被我们忽略的事物、规律的总结。

数学的六大基本原理(给我印象深刻的一些数学思想)(1)

今天给大家分享的数学思想是“抽屉原理”。我最早接触抽屉原理,是在读高中的时候,现在很多“知识”都前移了,比如微积分挪到高中。抽屉原理估计也会被很多初中学生所熟知,甚至很多小学学生也了解一二。赘述如下:

  • 原始版:3个苹果放进2个抽屉,那么至少有2个苹果会在同1个抽屉内。

  • 升级版:n个苹果放入n-1个抽屉内,那么至少有2个苹果会在同1个抽屉内。

应用举例,这是一个计算机系的题目,已经通过数学方法逐步解决,目前需要验证这句话“从1~100这100个自然数中选取任意52个(不能重复选),其中必然可以挑出2个,这2个数的和是100。

  • 题干简单,大白话,几乎看不到什么条件限定。看起来不像是数学题目;

  • 结论开放,不告诉你结论,需要自己找到结论,并且证明结论是对的。

  • 比如上述这个问题,你既需要判断话的真伪,还需要验证自己的判断。这里就不展开说了,只对抽屉原理在本题的应用做一个分享。

    • 第一步,把1~100分成同样数量的两堆数,1~50为第一堆,51~100为第二堆。可以看到,这2堆数中包含的自然数一样多,都是50个;

    • 第二步,任意取52个数,根据抽屉原理,必然、至少有2个数与另外50个数不在同一堆数中(这里说的即上述1~50和51~100两堆数)。比如,如果你取1~52这52个数,那么1~50就是第一堆,而51、52则属于51~100这堆数;

    数学的六大基本原理(给我印象深刻的一些数学思想)(2)

    抽屉原理应用简易图示

    • 第三步,上面所说那2个数:如果这2个数在1~50中,那么最多只有1个是50,另1个只能是1~49之间的数;如果这2个数在51~100中,那么最多只有1个数是100,另1个数只能是51~99之间的数。大家有没有发现,这是抽屉原理的第二次应用

    数学的六大基本原理(给我印象深刻的一些数学思想)(3)

    第一堆的数字与第二堆的数字配对,只有50和100找不到与之配对的数字

    • 第四步,我们这里只展开说明这2个数在1~50时的情况。不难发现:1 99=100,2 98=100,3 97=100,...,48 52=100,49 51=100。即,这2个数中那个不是50的数字,一定能够在51~99中找到与之和为100的数字。这样,就验证了“52个数字中至少有2个数字的和为100”这句话。

    这里补充几点说明,再添加几个问题:

    1. 关于抽屉原理在本题的应用,大家仔细体会一下;

    2. 我们分析的是2个数的情况,如果有3个数与其他数不是同一堆呢?

    3. 如果这2个数在51~100呢?

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