抽象函数的奇偶怎么判断（别让抽象函数装神弄鬼）

没有具体的函数解析式的函数，我们称之为抽象函数。和抽象函数问题有关的问题是高考的考点，常考常新，同时又是学生学习时的难点，本文例举抽象函数典型问题进行分析，旨在帮助领会这类题的解答规律。

一、抽象函数的奇偶性问题

例1 ： 定义在上的单调函数f(x)满足f(3)=log3，且对任意x,y∈R都有f(x y)=f(x) f(y)。求证f(x)为奇函数。

分析：欲证为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立。在式子中f(x y)=f(x) f(y)，令y=-x可得f(0)=f(x) f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值。令x=y=0可得f(0)=f(0) f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明。

证明：f(x y)=f(x) f(y)，　x,y∈R　 ①

令x=y=0代入①式，得f(0)=f(0) f(0),即f(0)=0.

令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x) f(-x) ，又f(0)=0.，则有f(x)=-f(-x).

即f(x)=-f(-x)对任意　x,y∈R成立，所以f(x)是奇函数．

二、抽象函数的单调性问题

例2： 已知f(x)定义在[-1,1]上的增函数，f(x-1)<f(x^2 -1)，求x取值范围。

分析：要想求得实数x的取值范围，必须先脱去符号f.

解：依单调性定义得，

解得，

故实数的取值范围是

例3：已知偶函数f(x)在上[0, ∞)是增函数，且f(6)=0,求不等式f(-x-2)>0的解。

分析：由条件可得f(-x-2)>f(6)，解答本题的关键仍然是要脱去符号f.

解:因为f(x)是偶函数，所以f(-x-2)=f(x 2)，又f(x)在[0, ∞)上是增函数，且f(6)=0,故x 2>6,解得x>2或x<-2;所以不等式的解集是(-∞,-2)∪(2, ∞)。

三、抽象函数的求值问题

例4： 设函数f(x),x∈R为奇函数，f(1)=1/2, f(x 2)=f(x) f(2), 求f(5).

分析：本题考查函数的代数运算.有关抽象函数的求值，一般是应用特殊值法解答.

解：令x=-1,则代入已知得f(-1 2)=f(1)=f(-1) f(2)，即1/2=f(-1) f(2)

又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，得f(-1)=-f(1)=-1/2，f(2)=1,

令x=1,得f(3)=f(1 2)=f(1) f(2)=3/2;

令x=3,得f(3)=f(3 2)=f(3) f(2)=5/2。

例5 : 已知函数y=f(x)对任意的实数x,y都满足，且求f(x)f(y)=f(x y),且f(1)=2,

分析：本题考查抽象函数的求值，应用特殊值法解答.

解：由f(x)f(y)=f(x y),且f(1)=2,得f(1)f(1)=f(1 1)=f(2),

同理可得f(1)f(2)=f(1 2)=f(3),即

类似的

所以

四、抽象函数的图象问题

例6 ：若奇函数f(x)在(0, ∞)上是增函数，又f(-3)=0,则{x∣x·f(x)<0}等于（ ）

A. {x∣x>3或-3<x<0};

B. {x∣0<x<3或-3<x<0};

C.{x∣x>3或x<-3};

D. B. {x∣0<x<3或x<-3}。

分析：由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其图形即可求出答案.

解：因为是f(x)奇函数，由f(-3)=0,得f(3)=0。f(x)在(0, ∞)上是增函数，所以在(-∞,0)上也是增函数，根据上述条件我们作出满足题意的的图形，如下图，

在图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出x·f(x)<0的解集是 {x∣0<x<3或-3<x<0};选B。

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