高考数学常见题型及解题技巧（碰上史上最难的高考数学）

2022年全国高考已经落下帷幕。

继各式各样的语文作文题刷屏朋友圈后，“今年高考数学有多难”又冲上了热搜前列，引发大家的关注和热议。

面对“十年最难”数学卷，大家这样评论：

图源：微博

碰上史上最难的高考数学，如何应对没有头绪的数学题，突破自己的学习“天花板”？

来看看这个来自青少年学习心理专家，清华大学心理学系学习科学实验室执行主任宋少卫老师分享的小故事，可能会给你一些启发。

故事中的女孩数学成绩达到了一个瓶颈，怎么努力也无法再提高。女孩对此很是着急。

其实，学习不单单是某个学科知识的问题，往往和学习系统能力各个模块有关，这边解决得差不多了，我们换个方向再升级就好了。

案例背景

子雯是一名初三学生，因数学成绩不佳，在初三开学前的暑假里主动要求请家教，开始恶补数学。开学后，数学成绩迅速提升，随后稳定在80 多分（满分100 分）。子雯还想再往上冲一冲，但不论怎样努力，成绩都无法再提高了。她对此感到很着急，来到我的咨询室求助。

子雯个头比较娇小，身着一身圆领浅灰色毛衣，戴了一副圆框眼镜，梳着刚刚过肩的马尾辫，显得文静不失书卷气。走进咨询室，互相打过招呼后，我请子雯坐在我的旁边。因为在此前的电话沟通里，我对她的基本情况已经有了一定的了解，在简单的交流和信息确认后，我们便开始聊起具体的学习问题。

“宋老师，我之前数学落下好多，初二期末考试不及格，觉得很丢脸，就找了老师补课。老师说我基础知识不扎实，帮我补基础。补课之后，成绩很快就上来了。一开始考80 多分，我可高兴了，觉得努力没白费。可后来，就一直停留在80 多分，怎么努力也没法再往上。我其他科还不错，就数学拖后腿。这段时间，我一点儿都不敢松懈，可时间花进去，见不到成效，数学考试还是80 多分，总是有题不会做。我是不是逻辑性不好，没有数学头脑啊？”

说完，子雯将一沓数学试卷边递给我边说道：“宋老师，这是您让我准备的考试卷子，初二到现在初三第一学期期中的都在这儿了，麻烦您帮我好好分析一下，我还哪块儿有问题呀！”

图源 pexls

初步分析

子雯此前暑假的补课，主要填补的是之前学科知识点上的漏洞，数学成绩从不及格提升到了80 多分，归功于她学习系统中语义解析模块的问题在这个过程中得到了一定的解决。但是到80 多分后，进步就停滞了，一定是学习系统中存在其他模块尚未修复的“故障”阻碍了她成绩的进一步提升。在初诊交流的过程中，我发现子雯对自己的逻辑性尤为不自信，于是决定从逻辑加工这个模块入手，帮她定位问题、解决问题。

治疗过程

翻阅完子雯的试卷，我梳理出了几类她常错的题目。比如：几何大题，她出现问题的次数就比较多。于是，我选取了一道有代表性的题目，和她一起详细剖析解题过程，用来定位问题。题目如下：

“子雯，我们一起来梳理梳理你的解题思路如何？找找经常把你卡住的卡点在哪里。”在帮助学生解决具体学科问题时，重现学生的解题过程，寻找具体卡点，是修复学习系统漏洞的重要一步。

“嗯嗯，好的。”子雯点点头。

“这道题，我看你基本没得分，当时的解题思路还记得吗？”我耐心地询问。

“记得，刚看到这道题时我有点蒙，题目的每个字都能看懂，也能理解这道题的字面意思，但不知道该从哪里下手。我当时脑子一片空白，什么都想不出来。后来数学老师讲了这道题，我把详细的解题过程记在错题本上。我记得做两条辅助线，然后利用边长相等和三角形面积公式，就能解出来。”

“好，你说得对。”

“数学老师讲的解题思路我能听懂。如果下次考试再遇到这样的题，我应该能做出来。但是宋老师，我不知道为什么要加这两条辅助线，为什么会想到利用三角形面积公式。”

子雯的话证实了我的猜测。对于这道题来说，她能够把握题面的含义和要求，也不存在对应知识点的理解偏差，说明收集识别和语义解析两个模块都没有问题，问题出在逻辑加工上。她不清楚如何找到解题的突破口，如何建立起由已知到未知的逻辑通道，这正是她学习系统目前最大的障碍所在。

问题既已定位成功，下面便是思考如何解决了。我决定从这道题入手，帮助子雯整理思路，训练她建立逻辑通道的能力。

“子雯，看到题目的已知条件和求解问题，你能想到什么呢？我们试着把你能想到的东西做一个连接吧。”

“‘如下图所示’，提示我要看图。我们老师说，不论卷子上有没有给出图，自己都要画一下图。所以首先要根据题意看图或者画图。题目说是四边形ABCD，没有说平行四边形ABCD，因此它是一个不规则四边形，边长相等、对边平行、面积公式这些都不能用。还有这个四边形的面积是1，但是不知道这个条件怎么用。”

“很好，还有吗？”

“将BA、CB、DC、AD 分别延长一倍到……所以BA=AE，AD=GH……求新四边形的面积。然后，我想不出来了……”说到这，子雯停下来，看着我。

“非常好！你已经找到了好几条重要信息，我们在草稿纸上记录下来，试试看，能不能联想到其他的信息。”

“延长一倍？不知道。嗯，新四边形面积，看到‘新四边形面积’，我想到，大四边形面积，等于小四边形面积，加上4 个三角形面积。”

“好。”

“看到‘三角形面积’，我想到公式是1/2 底乘高。底，不知道；高，也不知道。”沉默半分钟之后，子雯抬起头问我，“怎么办呢？”

“没关系，不要着急出答案。解题的过程更重要。子雯，看到三角形的底和高，你能想到什么呢？”

“以△ BEF 为例，底不知道，但知道AB=AE，做一条高线，这条高线……噢，连上A、F 两个点，这两个三角形面积相等。可面积相等，也不知道面积是多少啊？怎样能知道面积是多少呢？噢，我想到了，AB 线段，如果加一条AC 辅助线，三角形△ ABC 和△ ABF，如果它们两个面积相等，就好做了，它俩的面积……”

就这样，由已知条件和问题出发，不断地连接和组合，逐渐建构出一条清晰的逻辑通道，这道题就迎刃而解了。基于此，我先领着子雯把解题过程变成了一张解题程序图。

引导子雯完整地跑了一遍解题程序后，我带她将其中逻辑加工的过程总结成了一张解题程序流程图。这对强化她的逻辑流程、后续回顾参考都有很大的帮助。我告诉子雯，在平日的数学学习中，遇到较为复杂的例题，都可以按照这样的解题程序，分解问题一步步处理。重点关注其中逻辑加工的部分，用简单的思维导图梳理出来，再通过习题把这套逻辑吸收转化为自己的程式。

在后续的四次治疗里，我以一道道典型题目为例，对子雯逻辑加工能力不断进行着引导培养和考查检验，同时在每次治疗结束前布置适量的练习作业。经过一个多月的训练提升，子雯在这个学期的数学期末考试里取得了94 分，得知成绩后她立即开心地向我报喜：“宋老师，我又有继续进步的信心了！”

回顾总结

逻辑通道是学习系统中逻辑加工的重要概念，它的建立也是逻辑加工的重要步骤。逻辑通道有点类似人际关系网络。比如我认识甲，甲认识乙，在甲的头上顶了我和乙两个人的标签，于是通过甲，我和乙也就认识了。变量也一样，边长认识面积，面积认识体积，三者建立一个通道，边长也就认识了体积。

我们做的每一道题，都是给你一系列的已知条件，解题其实就是在已知条件里面找出相互关联的标签，然后使已知的链条一步步指向、一点点链接到最后的未知，从而解决问题。在已知和所求之间存在一条可实现的“暗黑通道”，这就是逻辑通道。

对子雯来说，数学到80 多分后难以进一步提高，一定是学习系统中存在漏洞所致。她误以为是自己的逻辑能力有问题，不适合学数学，实则是建立逻辑通道的能力存在不足，这种能力通过训练是完全可以有效提升的。

在本案中，我通过试卷分析帮助子雯找到深层次的问题和卡点所在，应用学习治疗师中级班上介绍的方法进行排查，引导子雯一步步思考她不会的题目，教给她建立逻辑通道的方法，并通过练习不断强化，最终初步填补上了她这块能力的不足。子雯在后面的考试中再次取得了令她满意的进步，自此重拾进步的动力与信心。

有的老师或家长动不动就给孩子戴上逻辑性不好的帽子，导致孩子自身也会形成这样的自我怀疑。事实上，中小学阶段的孩子，学习系统的各个模块都还处在一个不断完善的过程中。遇到问题我们不应首先否定孩子，而是要设法通过训练提升孩子相应模块的能力从而解决问题。其实，孩子只需学会建立逻辑通道，就可以解决学习中的大部分复杂问题，这正是积极学习系统建构课程中最重要的一个环节。

治病要先知病！打破孩子的自我怀疑，从精准定位学习问题开始，积极学习系统的理论是坚实的支撑。

文源：《学习治疗手记》

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