数学界三大数学难题（小学生必备科学常识100问-30数学史）

编撰：茂喵喵

审核：猫头鹰

现代数学中，虽然还是存在许多未解决的难题，诸如哥德巴赫猜想，诸如黎曼猜想，还有NP难问题等，但是也正是在解决这些人类遇到的难题的过程中，我们建立起了庞大的、逐渐完美的数学体系，这是一条很艰辛的道路，其艰辛程度，举个例子，就从费马大定理的证明过程耗时300多年，也可窥见一斑。然而比起曾经差点摧毁了数学大厦的三次数学危机，这样的障碍顶多也是小巫见大巫。所谓数学危机，就是某一重大问题的出现，危及到人们已经建立的数学体系，使得人们费尽心思仍然惶惶不可终日。至今为止，这样的问题已经出现过三次，并且并没有任何证据说这样的危机不再出现，所以，我辈数学人仍然需要居安思危，励精图治。今天，我们先来看看已经发生过的三次数学危机。

第一次数学危机

第一次数学危机发生于公元前五世纪的古希腊，当时以毕达哥拉斯为主的数学家们建立了以“万物皆数”为基石的“毕达哥拉斯学派”，该学派坚信：一切数均可以表示成整数或者整数之比。从现代数学的角度说就是：数只有有理数。

然而，几乎粉碎这座数学大厦的，也是该学派的成员——希巴斯。这要说到毕达哥拉斯定理，也就是我们通常所说的：勾股定理。在提出了该定理之后，学派中的一个成员就提出一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少？如果是放在现代，我们很快就可以得出结论：√2.可是，当时在利用毕达哥拉斯定理求解时，所得出的数既不能表示为整数，也不能表示为整数之比，而只能用一个他们都未曾见过的新数来表示。希巴斯的这个发现，促成了新数√2的诞生，同时也正是这个小小的√2动摇了当时的毕达哥拉斯学派的信仰，也是对当时的希腊人的一个沉重打击。这就导致了当时人们在认识上的危机，从而引发了西方数学史上的一次大风波，所以称为“第一次数学危机”。

第二次数学危机

第二次数学危机大约发生于公元十七世纪，当时由牛顿与莱布尼茨同时发明了微积分这一强有力的数学工具，使得当时的许多难题通过运用该工具很容易就解决了，就会感觉是穷人家突然得到一个宝贝，怎么能不奉为至宝呢？但是，当时的微积分体系并不完善，主要原因是：尽管他们两个人的理论都是建立在无穷小量分析上，但是他们两个人对无穷小量的理解却极其混乱，因而，人们对于微积分这一重要工具的非难与攻讦也就层出不穷，一度几乎使人们放弃这一建造起现代数学体系最重要的理论。直到柯西用极限的方法，定义了无穷小量之后，微积分理论才算是正式成型。

第三次数学危机

第三次数学危机与康托尔创立的集合论有关。十九世纪下半叶，康托创立集合论，该理论一经问世，就被给予高度赞誉。而数学家们也同时发现，通过集合论，可以构造整个数学大厦，一切数学结论都可以建立在集合论的基础之上，在当时，这样的理论对于所有数学家来说，都是极其令人兴奋的。然而好景不长，英国数学家罗素构造了这样一个集合S，该集合是由一切不是自身的元素所组成，问题是：该集合包含它自身吗？这个问题使得集合论陷入两难境地：因为如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。而这也就引发了第三次数学危机，应该说是集合论的危机。而解决该危机的办法，就是建立一套公理化体系，设定一些原则，来对集合给一个严格的限制。这样的系统现在常用的是ZF系统，从而完善了康托的朴素集合论。

虽然数学史上曾发生了这三次数学危机，但是也正是危机的产生，带来了新的数学知识，使得人们更加深入的了解了数学，所谓机遇深藏于危机，大约如此。而我们目前的数学体系中，或许也有许多不完美或者应该说不完备的地方，就期待诸位有志之士去发现并且解决了！

今天的科普分享就到此结束。

下期预告：数学史（4）：毕达哥拉斯定理的几种常见证明方法