三角形内角和定理的学情分析（和三角形内角和定理有关的一些命题）

作者 | 刘瑞祥

“三角形内角和是180度（或两倍直角）”（以下简称“内角和定理”），即《原本》第一卷命题32（简记为【I.32】，余者类似），是初等几何中的重要命题。众所周知，该命题是和《原本》中著名的第五公设即平行公设有关的。下面就介绍一些与之相关的命题并分析这些命题和第五公设的关系，未提及出处者，概出自《原本》。

一、【I.32】之前的命题

首先介绍其中的全等命题，也就是命题【I.4】（边角边）、【I.8】（边边边）和【I.26】（角边角和角角边）。之所以从这里介绍起，是因为这些命题说明了在“给定一边、两边或三边”的情况下，存在着角对应相等的情况，也可以说是在一定情况下存在着内角和相等的三角形。

另外，今天的初中几何教材，常常把“角角边”当做“角边角”的推论。因为如果已知所有三角形内角和都相等，那么在已知两组角对应相等的情况下，第三组角当然是相等的。但按照《原本》的体系，这时还没有内角和定理。更进一步来说，内角和定理需要第五公设作为保证，而三角形全等是不需要的。仅从这一点，我们就可以看出《原本》的论证是如何的严密和精妙了。顺便说一下，有人用勾股定理证明直角三角形全等的斜边、直角边定理，也是不合适的，因为全等命题理应和第五公设无关，笔者曾经试证，请参见三角形全等命题之ASS成立的几种情况。

下面两个命题都是内角和定理的较弱版本，和第五公设无关：

【I.16】：在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任意一个内对角（不相邻的内角）。

【I.17】：在任何三角形中，任意两角之和小于两直角。

显然我们可以从此推论出，三角形最多有一个直角或钝角。

《原本》第一卷在【I.27】之前，大多数和前面提到的这些命题有关，特别是和其中的【I.4】、【I.8】有关。前者最重要的应用是“等边对等角”及其逆命题（【I.5】、【I.6】），后者是若干作图题的基本依据。

接下来是这样几个和平行线直接相关的命题：

【I.27】、【I.28】：平行线判定定理。

【I.29】：平行线性质定理，也是大名鼎鼎的第一个应用平行公理的命题。

【I.30】：平行线的传递性。

【I.31】：平行线的作图法（注意该命题没有应用平行公理）。

《原本》证明完这五个命题之后，就是内角和定理了，过程与现在无异。

二、【I.32】之后的命题

在第一卷中，【I.32】之后主要包括这几部分内容：平行四边形的判定和性质、平行四边形和三角形的面积、一个作正方形的定理，最后是勾股定理及逆定理，这一卷未直接应用内角和定理。

下面是直接应用【I.32】的部分命题：

第二卷里有两个乘法公式用到了该命题。今天的人们可能对于利用内角和定理证明乘法公式感到奇怪，但在《原本》里，所有乘法公式都是以面积形式证明的，这就涉及到部分几何定理；

第三卷里的圆心角、圆周角定理，及圆的内接四边形对角和定理应用了该命题；

第四卷部分作图题和第六卷相似问题，很多情况下是已知两个三角形的两组对应角相等，则可知第三组对应角一定相等。因为在前面已经有了第五公设作为三角形内角和相等的保证，所以这里可以放心使用了。

我们不妨以【IV.2】为例作一介绍。这个命题是在指定圆内作一与已知三角形等角的三角形，即作已知圆的内接三角形，使之三个角与给定的三角形对应相等。

做法是：先作已知圆上一点A处的切线，然后在A处作AB、AC，使之与圆相交，且∠GAB=∠F，∠CAH=∠E。最后连接BC。容易看出，∠B和∠C也就分别等于∠E和∠F（弦切角定理，见【III.32】）。而且既然GAH是平角（当然这是现代的说法，古希腊没有平角概念），而三角形内角和也是平角，那当然这两个三角形的另外一对角也是相等的。

这里两次应用到【I.32】，一次是应用弦切角定理，一次是最后证明∠BAC和∠D相等。

另外值得注意的是，【III.17】是过圆外一点作切线的方法，与现在一般的方法不同，无须第五公设作为保证。

三、奇怪的【XI.21】

第十三卷也仍然包括一部分平面几何的内容，比如证明正五边形对角线互相黄金分割，以及同一圆中的内接正六边形、正十边形和正五边形的关系。这里显然会有很多地方用到内角和定理。

真正的立体几何方面，笔者只提一个命题，即【XI.21】：构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角。但笔者一直对该命题感觉有些困扰，那就是按照笔者整理的结果看，凡是涉及不等关系的命题，《原本》总是尽量避免用到第五公设。而这个不等关系居然要用到和第五公设有关的内角和定理，显然是奇怪的。《立体几何》（阿达玛著，朱德祥译，上海科学技术出版社1966年版）一书给了另外一个证明，没有显式地提到第五公设及有关命题，请参见《几何原本》第五公设有关命题简介一文的第二部分。至于是否真的不用第五公设，笔者暂未获得结论。

四、勒让德-萨开里第一定理

这一定理共分三条：

勒让德-萨开里第一定理

第一定理：三角形内角和不能大于二倍直角；

第二定理：如果在一已给的三角形中内角和等于二倍直角，则在任意三角形中内角和也等于二倍直角；

第三定理：如果某一三角形的内角和小于二直角，则任一三角形的内角和也小于二直角。

当初提出这三条定理的目的在于，看能否真正建立一个不依赖第五公设的几何体系，或者说能不能把第五公设转为定理。他们虽然已经走到了非欧几何的边上，却没有再迈进一步。而关于这三条定理本身，值得注意的有这几点：

首先说，第一定理用到了欧多克斯-阿基米德公理：任给两条线段，总可以使其中一条重复有限次之后，长度超过另一条线段（也简称阿基米德公理）。希尔伯特在《几何基础》（科学出版社1987年版；北京出版社，2009年版）中曾经提到，“若引进阿基米德公理，则平行公理就能用下面的定理替代：一个三角形的三个内角的和等于两直角”；

其次，第二定理只是说前提如果成立则如何，但并不涉及前提是否“真的”成立；第三定理是前两条定理的简单推论。

关于这三条定理的详细证明，可参见《罗巴切夫斯基几何学及几何基础概要》（罗巴切夫斯基、库图佐夫著，本书编译组译，哈尔滨工业大学出版社2012年版）。

五、我国数学家张景中用计算机研究几何证明时提到内角和定理

张老师先是引入坐标系，将这一问题转化为代数问题，由此得到一个代数式。接下来张老师用“举例”的方法证明了这个代数式恒等，命题得证。该证明过程见于《计算机怎样解几何题》（张景中著，湖北科学技术出版社2017年版）。其中用到了“定比分点”公式，而这是和第五公设有关的。

关于“内角和定理”，可以介绍的远不止于此，比如高斯就曾经对远处的山峰进行过测量，企图发现空间本身到底是不是欧几里得的，但限于篇幅本文就不再介绍了。大家如要进一步了解该定理和其它一些命题的关系，可参阅《几何原本导读》（梁子傑著，九章出版社2005年版）。

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