绿牌可以终身使用吗(要洗多少次牌才能彻底洗开)

3次?远远不够

永远不要以为,洗个两三次就能把牌洗开了。很多扑克牌小魔术就利用了三次洗牌远远不能把牌洗开的秘密。比方说,我拿出一副新牌给你,由你来负责洗牌。洗一次。再洗一次。你觉得还没洗开对吧,那就再洗一次。然后,请你偷偷看一眼最上面的那张牌,记下它的花色和点数,然后把它插到这摞牌中间某个位置去,再把整副牌给我。我便能挑出这张被动过的牌。

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当然这位观众的洗牌技术最好不要太随机……丨Unsplash

其实完全不需要特别的作弊方式。魔术的原理正如上文所说:把一摞排列有序的牌洗三遍,并不会让整副牌完全无序,排列顺序会有一个很强的规律。移动最上面一张牌的位置会破坏掉这个规律,从而露出马脚来。

为了更方便地做进一步说明,我们下面只用 13 张牌来举例。由于这是一副新牌,初始时这 13 张牌是有序的:

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假设洗一次牌,是规律的把上面这个序列分成前后两半,然后交错构成一个新的序列:

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那么洗完一次牌后,依次寻找 A, 2, 3, ..., J, Q, K 的位置,你会发现它们形成了两个“上升序列”(分别用两种颜色标了出来)。

那么,再洗一次牌会对这个序列造成什么影响呢?容易看出,第二次洗牌将会把每个上升序列都截成两半,然后再次相交错,得到四个上升序列(分别用四种颜色标了出来):

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如果此时把末尾的那张 7 移到中间去,你会发现这会打破“四个上升序列”的规律。因此,我们很容易辨认出,在下面的扑克牌序列中,7 本该放在后面:

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但是在上面的例子中,这些上升序列都很短,理论上平均长度仅为 13 / 4 = 3.25。因此如果对方洗牌技术不佳,魔术就有出错的可能。不过,如果把 52 张牌洗三次,将产生 8 个上升序列,平均每个上升序列的长度为 52 / 8 = 6.5,魔术表演的问题就不大了。

5次洗牌也洗不均匀

我们可以借助“上升序列”的思路来证明,五次洗牌也不能把牌彻底洗均匀,因为有一些排列永远不能仅用五次洗牌得到。不妨假设初始时扑克牌的顺序是 1, 2, 3, …, 51, 52,五次洗牌后最多会产生 25 = 32 个上升序列。但是 52, 51, …, 3, 2, 1 这个排列中有 52 个上升序列,因此五次洗牌是绝对洗不出这样的排列的。事实上,所有上升序列数量超过 32 的排列都是五次洗牌无法得到的,这就证明了五次洗牌也不能把牌洗均匀。

看来,要想把牌洗开,六次是必需的了。

7次洗牌才足够

那么,究竟要洗多少次牌,才能让所有排列出现的概率大致相同呢?你别说,还真有人做过这样的研究。

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图 | Pexels

绿牌可以终身使用吗(要洗多少次牌才能彻底洗开)(7)1992 年,佩尔西·戴康尼斯(Persi Diaconis),美国数学家兼专业魔术师,与哥伦比亚大学的戴夫·拜耳(Dave Bayer)一道,为交叉洗牌法建立了一个数学模型,分析了包括上升序列在内的扑克牌排列性质,定义了 m 次洗牌后得到的排列分布与平均分布之间的“总变差距离”,最后发表了一篇 20 页长的论文。他们计算出,当扑克牌有 52 张,洗牌次数分别为 1, 2, ..., 10 时,总变差距离分别为 1.000, 1.000, 1.000, 1.000, 0.924, 0.614, 0.334, 0.167, 0.085 和 0.043。可见,五次洗牌才能让整副牌呈现出随机性,直到第七次洗牌才会让随机性显著增加;并且在此之后,总变差距离将大致以 1/2 的比例依次递减。因而他们的结论就是:七次洗牌才足够随机。

他们还对这个问题进行了渐近意义上的分析:当 n 足够大时,需要的洗牌次数大约为 3 log2n / 2。

如果你不是要变魔术而只想玩游戏,建议开一盒新牌之后来个漫天花雨,然后捡起来,可保万无一失……

一个AI

这样说来,还是老祖宗机智。

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