拉格朗日点l4和l5受力分析（还谈高考中的拉格朗日点L4点和L5点）

上期我们在已知以两个大物体连线为底边的等边三角形的顶点为拉格朗日点L4点和L5点，这期我们换个思路，看能不能在已知两个点是拉格朗日点的基础上，证明L4点和L5点可以分别和两个大物体组成等边三角形。

我们以地球和月球为例来说明，假设地球的质量为M，其质心在A点，月亮的质量为m，其质心在B点，月亮和地球的距离为R，小物体的质量为u，整个系统的质心为C点，系统质心和地球的距离为x。F1为地球对小物体的万有引力，F2为月球对小物体的万有引力。

如上图所示，做辅助线EG。我们可以得到两对相似三角形，即三角形ACL4和EGL4相似，三角形BCL4和EGD相似，令EG为力N，万有引力的合力F合分为两部分F合1和F合2，则可以得到以下式子

式一：F合1/F1=CL4/AL4

式二：F合1/N=CL4/AC

式三：F合2/F2=CL4/BL4

式四：F合2/N=CL4/BC

式一/式三=F合1/F合2=BL4/AL4*F1/F2，F1等于GMu/(（AL4）的平方)，F2等于Gmu/(（BL4）的平方)。所以F合1/F合2等于M/m*（AL4）的三次方/（BL4）的三次方

式二/式四=F合1/F合2=BC/AC，由双星系统知BC=RM/(m M)，AC=Rm/(m M)，所以F合1/F合2=BC/AC=M/m。

所以AL4=BL4。

由式一得F合1=F1*CL4/AL4

由式二得F合2=F2*CL4/BL4=F2*CL4/AL4

所以F合=F合1 F合2=CL4/AL4（F1 F2）=G(M m)u/(（AL4）的平方)

而小物体所需要的向心力=(AL4/CL4)*G(M m)u/(（AL4）的平方)

所以AL4=CL4。

所以我们成功的证明了等边三角形，不能不说这是一个数学物理相结合的典范，是科学的一种美。下期我们看一下高考中曾经出现过的拉格朗日点的考法。

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