数学集合的含义(数学:集合的概念)

题记

美国有原子弹,那也没有什么了不起。它有它的原子弹,我有我的手榴弹;它打它的原子弹,我打我的手榴弹。我们坚决相信,我们的手榴弹,最后一定可以打败美国的原子弹。有些人只看到美国原子弹在广岛爆炸的厉害,不懂得它在广岛的爆炸毁灭的也是它自己,归根结底不是原子弹消灭人民,而是人民消灭原子弹。我相信原子弹无非是个纸老虎。

——毛泽东

要注意教育和科学技术。对科学技术的重要性要充分认识。科学技术是第一生产力,知识分子是工人阶级一部分。

——邓小平

数学集合的含义(数学:集合的概念)(1)

大家好!我是小刘童晓,今天复习集合的知识。

一 知识内容

(一)集合

把一些能够确定的不同的对象汇集在一起,就称由这些对象构成一个集合。常用大写字母表示,如A、B、C...

(二)元素

组成集合的每个对象,都是这个集合的元素。常用小写字母表示,如a、b、c...

(三)集合的简单表示

将元素写在花括号中,用逗号隔开,{元素1,元素2,元素3}。例:集合A 集合{6,7,8} 集合A={6,7,8}。

(四)元素与集合的关系

只有两种关系:元素在集合中,即元素属于集合,符号∈;元素不在集合中,即元素不属于集合,符号∉。

(五)元素的性质

有3个性质:确定性,即集合中的元素是确定的,要能够判断元素是否属于集合,不能模棱两可;

无序性,即集合中的元素可以任意排列;

互异性,是最重要的性质,即集合中的元素必须互不相同。

(六)涉及的其它知识点

1.多项式因式分解的十字相乘法

x² (a b)x ab=(x a)(x b),即1与b,1与a十字相乘;

acx² (ad cb)x bd=(ax b)(cx d),即a与d,c与b十字相乘。

我们可简单用口诀理解为:首尾分拆为两,两两十字相乘再相加,成中间;十字相乘以验证,平行相加以成式子。十字相乘法在运用中是要不断尝试的,不可能一蹴而就!

2.一元二次方程根的判别式及其应用

(1)只含有一个未知数(一元),并且未知数项最高次数是2(二元)的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax² bx c=0(a≠0)。其中ax²叫做二次项,a是二次项系数;bx叫做一次项,b是一次项系数;c叫做常数项。

(2)在一元二次方程ax² bx c=0中,b²-4ac就是其判别式,进行方程根个数的判断。当判别式大于0时,方程有两个不相等的实数根;当判别式等于0时,方程有两个相等的实数根;当判别式小于0时,方程没有实数根。

(3)如上所述,那为什么我们又常常遇到称一元二次方程只有一个实数根的情况呢?

严格来说,不管何时都不可能只有一个实数根,只存在两种情况:①没有根,即判别式Δ=b²-4ac小于0;②有两个根,即判别式Δ=b²-4ac大于或等于0。我们说的一个实根只是当判别式等于0时,两实根相等罢了,于是习惯称为一个实根。

二次方程的根必然有两个,成对出现,我们可以将方程分解为两个一次因式的乘积。此外,实方程也是一种特殊的复方程,也要满足复方程n次n解的原则。

(4)一元二次方程的求根公式导出过程如下:

1 ax² bx c=0(a≠0)......方程两边同时除以a

2 x² b/ax c/a=0 ......为了配方,两边各加(b/2a)²

3 x² 2×x×(b/2a) (b/2a)²=-(c/a) (b/2a)²......运用公式法:a² 2ab b²=(a b)²

4 〔x (b/2a)〕²=(b²/4a²)-(c/a

)......将方程右边的平方化开

5 〔x (b/2a)〕²=(b²/4a²)-(4ac/4a²)......将方程右边通分

6 〔x (b/2a)〕²=(b²-4ac

)/4a²......将方程两边同时去平方

7 x (b/2a)=±√〔(b²-4ac

)/4a²〕......移项

8 x=±√〔(b²-4ac

)/4a²〕-(b/2a)......将方程右边去根号

9 x=±√{〔(b²-4ac

)〕/2a}-(b/2a)......将方程右边通分

10 x=〔-b±√(b²-4ac

)〕/2a......最后结果

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式Δ=√(b²-4ac)。

数学集合的含义(数学:集合的概念)(2)

二 例题部分

第一题:已知集合A由m 2和2m² m两个元素构成.若3∈A,则实数m的值为( ) .

解析:

(1)分类讨论

题目中说集合A有两个元素,分别用两个代数式表示,且其中一个元素是3。这样我们不知道究竟哪个代数式的值是3,必须展开分类讨论。

①当m 2=3时,则m=3-2=1。

②当2m² m=3时,可变换成一元二次方程的形式:2m² m-3=0,运用多项式因式分解的十字相乘法,可变换成:(2m 3)(m-1)=0,可得m1=-(3/2),m2=1。

(2)检验

综合(1),我们知道m的取值有-(3/2)或1,但集合中的元素有互异性,必须互不相同,我们便将这两个数值分别代入两个元素的代数式中进行检验。

①取m=1时,m 2=1 2=3且2m² m=2×1² 1=3,则A={3,3},故不满足互异性,不可取。

②取m=-(3/2)时,m 2=2 〔-(3/2)〕=(4/2)-(3/2)=1/2且2m² m=2×〔-(3/2)〕² 〔-(3/2)〕=2×(9/4)-(3/2)=(9/2)-(3/2)=6/2=3,则A={1/2,3},故可构成一个集合。

答案为〔-(3/2)〕。

数学集合的含义(数学:集合的概念)(3)

第二题:由方程ax² x 2=0的解构成的集合中只有一个元素,则实数a的值为 ( ).

解析:我们知道一元二次方程的一般形式为ax² bx c=0(a≠0),则题中方程ax² x 2=0其实是一个伪二次方程,可以分成两种情况讨论。

①题中方程只有一个解,即判别式Δ=0,可得等式为:b²-4ac=1²-4a×2=1-8a=0,所以a=1/8。

②加上一个前提条件,若参数a=0时,题中方程将变成只有一个解的一次方程:x 2=0,所以x=-2,也符合集合中只有一个元素的题意。

答案为1/8或0。

第三题:由a,-a,|a|,√(a²)构成的集合中,最多含有 个元素,最少含有 个元素.

解析:这道题可以直接通过赋值法解答,我们设a=1,则四个元素分别为1,-1,|1|,√(1²),结果即1,-1,1,1,所以一共有1,-1两个元素。这里我们要知道|a|=√(a²),即两者其实是等价的关系。

那我们再设a=-1,则四个元素分别为-1,1,1,1,所以还是一共有1,-1两个元素。综上可知,题目中集合最多含有2个元素。

另外,我们若设a=0,则四个元素皆为0,可知题目集合中最少有1个元素。

答案为2;1。

今天就到这里了,谢谢大家!

下回再见吧!

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