三角函数的精确计算（人工智能数学基础1）

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC（在此简称为θ）而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则三角函数定义如下：

• 正弦值在 [2kπ-π/2,2kπ π/2]（k为实数，下同）随角度增大（减小）而增大（减小），在 [2kπ π/2,2kπ π*3/2] 随角度增大（减小）而减小（增大）
• 余弦值在 [2kπ-π,2kπ] 随角度增大（减小）而增大（减小），在 [2kπ,2kπ π]随角度增大（减小）而减小（增大）
• 正切值在 [kπ-π/2,kπ π/2] 随角度增大（减小）而增大（减小）
• 余切值在 [kπ,(k 1)π] 随角度增大（减小）而减小（增大）

• 对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c，可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
• 变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R是三角形的外接圆半径
• 三角形的面积：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a² = b² c²- 2bc·cosAb² = a² c² - 2ac·cosBc² = a² b² - 2ab·cosC也可表示为：cosC=（a² b² －c²）/ 2abcosB=（a² c² -b²）/ 2accosA=（c² b² -a²）/ 2bc

延伸定理：第一余弦定理（任意三角形射影定理）a=b·cos C c·cos B， b=c·cos A a·cos C， c=a·cos B b·cos A

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC，总有：tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数，并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

1. 余角关系

2. 负数关系

3. 倒数关系

4. 加减法公式

本文在CSDN的“老猿Python”首发，头条号、微信公众号和百家号“老猿Python”转载，由于这些平台对外部链接的限制，文中不能包含外部链接。如果是头条请点击文章底部最下方的“了解更多”跳转CSDN阅读原文，如果是微信公众号请点击文章底部最下方的“阅读原文”跳转CSDN阅读原文，否则请在百度搜索或CSDN搜索中输入"CSDN老猿Python”加文章标题关键字搜寻本文。