量子力学最著名的四个定律（最复杂的数学对象）

在过去的一个世纪里，量子场论被证明是有史以来最全面、最成功的物理理论。它是一个涵盖了许多具体量子概念的总括性术语——就像“形状”涵盖了特定的例子，如正方形和圆形。这些理论中最著名的被称为标准模型。

它可以从基本层面解释我们做过的每一个实验，剑桥大学物理学家戴维·唐（David Tong）说。

但量子场论（QFT）无疑是不完整的。物理学家和数学家都不知道是什么让量子场论成为量子场论。

数学，需要内在的一致性和对每一个细节的关注，是可能使量子场论完整的语言。如果数学能够严格地描述量子场论，一个更完整的物理世界的图景可能就会随之而来。

如果你真的以恰当的数学方式理解量子场论，这将给我们许多开放物理问题的答案，甚至可能包括引力的量子化，高等研究所主任罗伯特·迪杰格拉夫说。

千百年来，物理世界一直是数学最伟大的灵感源泉。古希腊人发明了三角学来研究恒星的运动。大约2000年后，艾萨克·牛顿想要理解开普勒的行星运动定律，并试图找到一种严谨的方式来思考无穷小的变化。这种冲动催生了微积分领域，数学借鉴并改进了这一领域。

现在数学家们想要对量子场论做同样的事情，利用物理学家们为研究基本粒子而发展的思想和技术，并将它们纳入数学的主体。这意味着可以定义量子场论的基本特征，这样未来的数学家就不必考虑该理论最初出现的物理环境。

回报很可能是巨大的：当数学发现新的探索对象和捕捉到一些最重要的关系（数字、方程和形状之间的关系）的新结构时，它就会有所发展。

至少40年来，量子场论一直吸引着有想法的数学家们去研究。近年来，他们终于开始理解量子场论本身的一些基本对象——将它们从粒子物理世界中抽象出来，并将它们转化为数学对象。

然而，这一努力仍处于早期阶段。如果数学家们真的理解量子场论，那将导致数学的深刻进步。

场

人们通常认为宇宙是由基本粒子构成的：电子、夸克、光子等等。但物理学很久以前就超越了这一观点。物理学家现在谈论的不是粒子，而是所谓的“量子场”。

这些场贯穿宇宙的时空。它们有很多种类，像起伏的海洋一样波动。当电场波动并相互作用时，粒子从电场中出现，然后又消失在电场中，就像短暂的波峰一样。

粒子不是永远存在的物体

要理解量子场，最简单的方法是从一个普通的或经典的场开始。想象一下，例如，测量地球表面每一点的温度。将可以进行这些测量的无限多个点结合起来，形成一个几何物体，称为场，它将所有的温度信息打包在一起。

一般来说，只要你有一个量，可以在空间中以无限高的分辨率唯一地测量，场就会出现。当你在空间和时间的每一点观察量子现象，比如电子的能量时，量子场就产生了。但量子场与经典场有本质的不同。

地球上某一点的温度就是它的温度，不管你是否测量它，在你观察到它们之前，电子都没有确定的位置。在此之前，它们的位置只能用概率来描述，通过给量子场中的每个点赋值来获得你在那里找到电子的可能性。在观察之前，电子是无处不在。

物理学中的大多数东西不仅仅是物体;它们存在于空间和时间的每个点。

量子场论提出了一套称为相关函数的规则，用来解释场中某一点的测量如何与另一点的测量相关。

每种量子场论都以特定的维度来描述物理。二维量子场论通常用于描述材料的行为，如绝缘体；六维量子场论与弦理论相关；四维量子场论描述了我们实际四维宇宙中的物理。标准模型就是其中之一，它是最重要的量子场论，因为它是最能描述宇宙的理论。

宇宙由12种已知的基本粒子组成。每一个都有自己独特的量子场。在这12个粒子场的基础上，标准模型增加了四个力场，代表了四种基本力：引力、电磁力、强核力和弱核力。它将这16个场合并成一个方程，用来描述它们如何相互作用。通过这些相互作用，基本粒子被理解为它们各自量子场的涨落，物质世界浮现在我们眼前。

这听起来可能很奇怪，但物理学家在20世纪30年代意识到，物理学基于场，而不是粒子，解决了一些最紧迫的矛盾，从因果关系到粒子不会永远存在的事实。它还解释了物理世界中看似不可能的一致性。

宇宙中所有相同类型的粒子都是一样的，如果我们去大型强子对撞机制造一个新质子，它与一个已经运动了100亿年的质子一模一样。这应该得到一些解释。量子场论提供了这样的解释：所有的质子都是同一个潜在质子场中的波动。

但量子场论的解释需要付出很高的数学代价。

到目前为止，量子场论是数学中最复杂的对象，以至于数学家们都不知道如何理解它们。

太多的无穷

是什么让量子场论如此复杂？是无穷。

当你在某一点测量量子场时，结果不是坐标和温度这样的几个数字。相反，它是一个矩阵，一个数字数组。不是随便什么矩阵，而是一个很大的矩阵，叫做算子，有无限多的列和行。这反映了一个量子场是如何包含一个从量子场中出现的粒子的所有可能性的。

一个粒子可以有无限多个位置，这导致了这样一个事实，即描述位置和动量测量的矩阵也必须是无限维的。

当理论产生无穷时，它就会对其物理相关性提出质疑，因为无穷作为一个概念而存在，而不是任何实验可以测量的东西。这也使得理论难以用数学方法来处理。

当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无穷大的问题就变得更棘手了。在经典力学中，这类计算很容易：要模拟两个台球碰撞时发生的情况，只需指定每个球在碰撞点的动量。

当两个量子场相互作用时，你会想做类似的事情：将一个场的无限维算子乘以另一个场的无限维算子，正好在它们相遇的时空点上。但是这种计算——将两个无限维度的物体相乘——是很困难的。

变通方法

物理学家和数学家不能使用无穷大进行计算，但是他们已经开发了一些变通方法来回避这个问题。这些变通方法产生了近似的预测，这已经足够好了，因为实验也不是无限精确的。

我们可以做实验，测量到小数点后13位，结果一致。这是科学界最令人震惊的事情。

一种变通方法是从想象你有一个什么都没有发生的量子场开始的。在这种情况下——称为“自由”理论，因为它没有相互作用——你不必担心无限维矩阵相乘，因为没有物体在运动，也没有物体碰撞。这种情况很容易用完整的数学细节来描述，尽管这种描述没有多大价值。

物理学家们创造相互作用，试图在使相互作用更强的同时保持对图像的数学控制。

这种方法被称为扰动量子场论，在这个意义上，你允许在自由场中有微小的变化或扰动。但是如果你让相互作用更强，微扰方法最终会失败。这表明，虽然微扰方法是实验的有用指南，但最终它不是尝试和描述宇宙的正确方法，它在实际中有用，但在理论上不可靠。

另一种近似方案试图通过其他方法接近成熟的量子场理论。从理论上讲，量子场包含无限细粒度的信息。为了创造这些场，物理学家从网格或晶格开始，并将测量限制在晶格线彼此交叉的地方。所以我们不能到处测量量子场，首先，我们只能在选定的位置，一个固定的距离上测量它。

从那里，物理学家提高了晶格的分辨率，把线拉得更近，创造出越来越精细的网格。当它变紧凑时，你可以测量的点的数量会增加。点之间的距离变得非常小，这样的东西就变成了一个连续的场。用数学术语来说，连续量子场是紧凑化晶格的极限。

数学家们习惯于处理极限，并且知道如何确定某些极限确实存在。但目前还不清楚如何计算这个极限，以及它在数学上意味着什么。

物理学家并不怀疑，紧凑化晶格正朝着量子场的理想概念发展。量子场论的预测和实验结果之间的紧密吻合有力地说明了这一点。

“毫无疑问，所有这些限制都确实存在，因为量子场理论的成功是非常惊人的，”塞伯格说。但是有强有力的证据证明某事是正确的和最终证明某事是正确的是两码事。

艾萨克·牛顿的运动定律、量子力学、阿尔伯特·爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论——它们都只是量子场论的一部分，但与量子场论不同的是，它们都可以用精确的数学术语写下来。

量子场理论作为一种几乎通用的物理现象语言出现，但它在数学上却处于糟糕的状态。对一些物理学家来说，这是停滞不前的原因。

数学类比

即使在这种不完整的状态下，量子场论也促成了许多重要的数学发现。相互作用的一般模式是，使用量子场论的物理学家偶然发现了令人惊讶的计算，然后数学家试图解释。

在基本层面上，物理现象与几何有着密切的关系。举个简单的例子，如果你让一个球在一个光滑的表面上运动，它的轨迹将“照亮”任何两点之间的最短路径，这被称为测地线。通过这种方式，物理现象可以检测出一个形状的几何特征。

现在把台球换成一个电子。电子概率地存在于表面的每一个地方。通过研究捕获这些概率的量子场，你可以了解这个表面的总体性质，比如它有多少洞。这是几何学和相关拓扑学领域的数学家们想要回答的一个基本问题。

20世纪70年代末，物理学家和数学家开始应用这种观点来解决几何中的基本问题。到20世纪90年代早期，塞伯格（Seiberg）和他的合作者爱德华威滕（Edward Witten）想出了如何使用它来创造一种新的数学工具——现在称为塞伯格-威滕不变量——将量子现象转化为一个形状的纯数学特征的指标：计算量子粒子以某种方式运动的次数，你就能有效地计算出一个形状中的洞的数量。

威滕证明了量子场论能给几何问题提供完全意想不到但又完全精确的洞见，使棘手的问题得以解决。

这种转换的另一个例子也发生在20世纪90年代初，当时物理学家正在进行与弦理论有关的计算。他们根据完全不同的数学规则在两个不同的几何空间中进行运算，并不断生成一长串彼此完全匹配的数字。数学家们捡起了这条主线，并将其细化为一个全新的研究领域，称为镜像对称。

但是，尽管量子场论成功地为数学创造了可遵循的线索，但它的核心思想仍然几乎完全存在于数学之外。量子场论并不是数学家们理解得足够好的对象，不能像他们使用多项式、群、流形和该学科的其他支柱那样使用它们。

对物理学家来说，这种与数学的遥远联系表明，对于他们诞生的理论，还有很多东西需要理解。塞伯格说：“在过去的几个世纪里，物理学中使用的所有其他想法在数学中都有其天然的位置，量子场论显然不是这样的。”

对于数学家来说，似乎量子场论和数学之间的关系应该比偶尔的互动更深刻。这是因为量子场论包含了许多对称，或潜在的结构，这些结构规定了场的不同部分的点如何相互关联。这些对称性具有物理意义——它们体现了随着量子场的演化，能量等量是如何守恒的。但它们本身在数学上也是很有趣的东西。

数学家可能关心某种对称性，我们可以把它放在物理环境中。它在这两个领域之间创造了一座美丽的桥梁。

数学家已经使用对称性和几何学的其他方面来研究从解不同类型的方程到素数的分布的一切。量子场论为数学家们提供了一种丰富的新型几何对象。

为量子场论让路

数学不会轻易接纳新学科。许多基本概念都经过了长时间的考验，才在这个领域中找到了合适的、规范的位置。

取实数——数轴上无限多个刻度。数学花了近2000年的实践才在定义它们的方法上达成一致。最后，在19世纪50年代，数学家们确定了一个精确的三个词的描述，将实数描述为“完全有序域”。它们是完整的，因为它们没有间隙，它们是有序的，因为总有一种方法来确定一个实数是否大于或小于另一个实数，它们形成了一个“域”，这对数学家来说意味着它们遵循算术规则。

• 圆周研究所的凯文·科斯特洛正在创建一个框架，这个框架可能最终会使量子场论建立在严格的数学基础上。

圆周研究所（Perimeter Institute）的数学家凯文·科斯特洛（Kevin Costello）做了大量将量子场论转化为数学的工作。2016年，他与人合著了一本教科书，将微扰量子场论建立在坚实的数学基础上，包括将如何处理随着交互次数的增加而出现的无限量正式化。这项研究是在21世纪初的代数量子场理论之后进行的，该理论寻求类似的目的。所以现在，虽然摄动QFT仍然不能真正描述宇宙，数学家们知道如何处理它产生的物理上的非意义无穷大。

通过详细说明微扰理论原理，科斯特洛创造了一个基础，在此基础上，物理学家和数学家可以构建新的量子场理论，满足他的微扰方法的要求。它很快就被该领域的其他人所接受。

科斯特洛也一直致力于定义什么是量子场理论。在简化的形式下，量子场论需要一个几何空间，在这个空间中你可以对每一点进行观测，并结合相关函数来表示不同点的观测如何相互关联。科斯特洛的工作描述了一组相关函数需要具备的特性，以便为量子场论提供一个可行的基础。

最常见的量子场论，比如标准模型，包含了可能不是所有量子场论都有的额外特征。缺乏这些特征的量子场论可能描述了其他尚未被发现的特性，这些特性可以帮助物理学家解释标准模型无法解释的物理现象。如果你对量子场论的想法与我们已经知道的版本过于接近，你甚至会很难想象其他必要的可能性。

科斯特洛用他对量子场的定义阐明了其中的一些黑暗空间。从这些定义中，他发现了两个令人惊讶的新量子场理论。它们都不能描述我们的四维宇宙，但它们确实满足了配备相关函数的几何空间的核心要求。他们通过纯粹思维的发现与你在物理世界中发现的第一个形状类似，但一旦你有了一个形状的一般定义，你就可以通过思考找到与物理无关的例子。

如果数学可以确定整个空间量子场理论的可能性，物理学家们可以用它来找到具体的理论解释他们最关心的重要物理问题。

一个持久的挑战

还有很长的路要走。到目前为止，所有用数学术语描述的量子场理论都依赖于各种各样的简化，这使得它们在数学上更容易处理。

几十年前，简化这个问题的一种方法是研究更简单的二维量子场论，而不是四维量子场论。法国的一个研究小组最近确定了一个著名的二维量子场论的所有数学细节。

其他的简化假设量子场是对称的，不符合物理现实，但从数学的角度来看，这使它们更容易处理。这包括“超对称”和“拓扑”量子场论。

下一步，也是更困难的一步，为量子场理论提供一个数学描述，使其更适合物理学家们最希望描述的物理世界：一个四维连续的宇宙，在这个宇宙中，所有相互作用都可能同时发生。

对于数学家来说，量子场论是他们所希望的最丰富的对象类型。要定义所有量子场理论所共有的特性，几乎肯定需要合并数学的两大支柱：解释如何控制无穷大的分析和提供讨论对称性的语言的几何。

就数学本身而言，这是一个令人着迷的问题，因为它结合了两个伟大的想法。

如果数学家们能够理解量子场论，那就无法预测在它的解中会有什么数学发现。很久以前，数学家定义了其他物体的特性，比如流形和群，而这些物体现在几乎渗透到数学的每个角落。当它们最初被定义时，是不可能预测所有的数学分支的。量子场论至少对数学有同样的前景。

对于物理学家来说，量子场论的完整数学描述是他们领域最重要目标的另一面：对物理现实的完整描述。

我觉得有一种知识结构可以涵盖所有的物理，现在数学家们只需要发现它。

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