常用数学分析方法（数学分析之函数的连续性）

在上一篇文中，学习了函数与函数极限，其中有讲到函数的四种特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性。

今天来学习函数的另一个重要概念--连续性。直观的表现是其函数图像在某点的邻域有定义，图像不断开。我们之前学的基本初等函数都是连续函数。

第1节，讲的连续的概念，和连续函数的概念：

• 函数的点x0连续的定义：lim f(x)=f(x0） x->x0 ，这是使用了函数极限来描述函数的点连续，这也是安排本节在函数极限之后的原因。当然，也可以改为使用增量配合ε-σ的描述法：Δy = f(x)-f(x0）;lim Δy= 0 Δx->0
• 函数的点连续分为左连续与右连续
• 当连续点组成连续区间时，函数就存在区间连续，函数区间连续细分为开区间连续，闭区间连续，半开半闭区间连续

根据矛盾成对出现原则，有连续就会有间断

第2节，讲的就是函数间断的概念：

• 函数的间断点：就是函数不连续的点，可以分为：
• 第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点，这类间断点特征是函数在该点的左右极限都存在
• 第二类间断点：在间断点x0中，lim f(x) x->x0- 与 lim f(x) x->x0 至少有一个不存在，即点的左极限与右极限至少有一个不存在
• 间断点定理：若f(x)在去区间（a,b)内单调，且x0∈(a,b)是f(x)的间断点，则x0必是跳跃间断点

第3节，讲连续函数的局部性质：从函数极限的性质可以推出连续函数的局部性质

• 局部有界性
• 保不等式性
• 局部保号性
• 满足四则运算条件的四则运算法则（加减乘除）
• 复合函数的极限定理：limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0) =f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0
• 复合函数的连续性，既然复合函数存在极限定理，同理也就可以利用复合函数的极限来描述复合函数的连续性。

特别地，谈谈基本初等函数的连续性：之所以称他们为基本初等函数，是因为他们都具有多数的函数的典型特性

• 反函数连续定理：若函数在闭区间严格单调且连续，则其反函数在其定义域上连续
• 定理：所有基本初等函数都在其定义域内连续
• 定理：一切初等函数都在其定义区间上连续

函数的连续性很重要，因为可以用来求极限，还与后续的微分关系很大

​第4节，讲函数的整体性质：

• 有界性定理：函数在闭区间连续，则在此区间有界。该定理关联了函数的有界性和连续性。特别注意必须是闭区间
• 最值的概念：分为最大值和最小值，很容易理解的概念，不过多解释
• 最值定理：函数在闭区间连续，则函数在此区间有最值（最大与最小）。也是只对闭区间成立
• 零点定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a).f(b)<0，则存在x0属于[a,b]，使得f(x0)=0，即方程f(x）=0在(a,b)内至少有一个根
• 介值定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，u是介于f(a)，f(b)的任何实数，则存在x0属于(a,b)，使得f(x0)=u
• 连续性推论：若函数在区间上连续，且不是常值函数，则函数的值域是一个区间
• 一致性连续：是指函数在区间上每一点都连续。因为函数的连续性是函数的局部性质，是点态的。
• 刻画一致连续：设f(x)在区间I上有定义，若对任意ε>0，存在σ=σ(ε)>0，使得对任何x1,x2∈I ，只要|x1-x2|<σ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε ，那么就说f(x)在I上一致连续
• 函数的一致连续使得函数的连续性从点态变为了区间态，这种加强了条件的连续，带来了新的性质：
• 1）若 f(x) ,g(x)都在区间I上一致连续，那么f(x)±g(x)也在I上一致连续
• 2）若f(x)在区间I上一致连续，J是I的子区间，那么f(x)在J上一致连续
• 3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则函数在该区间一致连续。该定理通过闭区间条件，沟通了连续与一致连续