离散数学逻辑思维导图（数学思维中的数维）

常兴隆：数学思维中的数维

所谓简单结论——

观察下面的等式

这些等式告诉我们一个结论：

从1开始若干个连续自然数的立方和，等于这些自然数的和的平方。

只能这样吗？

让我们思考一个问题：

只有对于从1开始的连续自然数才有这个结论吗？

换一句话说， 我们还能找到其他的一些数，它们也满足立方和等于和的平方吗？

这样的数肯定可以找到，我们知道连续自然数1、2、3、4是满足这一规律的：

我们将其中的3改成2，发现1、2、2、4也满足这一规律：

事实上，找到一两组这样的数，意义不大。关键是，能有什么规律性的发现。

诡异推广——

让我们注意数6，我们把它的因数按从小到大的顺序写出来：

1、2、3、6

我们再找出1、2、3、6的因数个数（即依次找出6的因数的因数个数）：

这个地方有点绕，先按从小到大的顺序写出6的因数，再写出每个因数的因数个数。

1有1个因数，

2有2个因数，

3有2个因数，

6有4个因数。

请注意这些因数的个数：1、2、2、4

这就是上面提到的符合立方和等于和的平方的一组数。

不只是6——

让我们再看一个数：12

写出它的因数，1、2、3、4、6、12

写出这些数的因数个数：1、2、2、3、4、6

就它们了：1、2、2、3、4、6

你会发现，它们的立方和等于它们和的平方。

似乎每一个数都对应着一组符合立方和等于和的平方这一规律的数。

连续自然数与谁对应？

我们来看看8：

写出它的因数：1、2、4、8

写出这些数的因数个数1、2、3、4

这样，我们发现，连续4个自然数对应8.

不只是8，如果你考虑27，也对应着1、2、3、4

事实上，27的因数：1、3、9、27

这些数的因数也分别是1、2、3、4。

8和27有什么共同点?

8是质数2的立方，27是质数3的立方。

一个质数的立方，对应着1、2、3、4

容易想到，一个质数的（n-1）次方，对应着1、2、3、…、n

为什么是这样？

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