微积分定理合集（微积分笔记矢量乘法的物理意义）

本篇开始进入微积分的第二个部分——多元函数微积分。微积分的三部曲：一元函数微积分，多元函数微积分，级数。本篇讨论矢量，给出矢量运算的物理意义，特别是点乘和叉乘！

多元函数微积分不好弄。多元不仅仅是多了几个自变量而已，这一多，多出了一个矢量概念。所以一般教材，下册（一般都分上下册，上册讲一元函数和微分方程，下册讲多元函数和级数）开篇讲矢量和空间。要理解多元函数微积分，重点在理解矢量，特别是矢量运算的物理意义，加减乘除。

多元函数微积分，整个过程跟一元函数一样。先从极限入手，再讨论连续、导数，注意这里是偏导了，再进入微分（全微分），顺带提一下梯度，之后就是积分，最后由统一公式结尾。统一公式相当于一元函数中的牛顿莱布尼兹公式。积分稍微复杂一点，复杂在第二类积分，因为有矢量的内积。积分之后稍微带一带场论。基本上就是下面这个步骤：

1. 邻域，极限，连续
2. 偏导，全微分
3. 梯度（捎带）
4. 积分（重积分，第一类曲线曲面积分，第二类曲线曲面积分）
5. 三度（梯度散度旋度）和场论
6. 三剑客（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式）和微积分统一公式（捎带外微分）

很经典，没有任何问题。但是，有一个概念贯穿始终，就是矢量。

所以，如果不理解矢量的物理意义，特别是矢量运算的物理意义，要学通多元函数微积分，绝对不可能。

而矢量的物理意义，在微积分教材中基本一笔带过，因为作者认为，你高中学！过！了！但是很冤，高中对于矢量的训练，远不及初等函数。所以你很能理解一元函数微积分中的导数的物理意义，积分的物理意义（曲边梯形的面积，变速跑的总路程），但是到了多元函数，一头雾水。问题还不在于教材作者，因为有些东西，没有多元函数微积分的知识，理解不了。想一下大学物理是不是安排在第二学年？明白了吧，先有蛋还是先有鸡？没办法，先塞给你一个蛋再说。

所以，学习多元函数微积分，必须夯实矢量基础！而且学完后，必须再回过头反复品味矢量。因为，多元函数微积分就是矢量的加减法！就如一元函数微积分，讲的是实数的加减法！

不讲了，讲这个是在侮辱你的智商。

很简单，打过架的人知道，力是矢量，有体会怎么用力。一般教材都用平行四边形对角线解释，也非常易懂。

这也没什么好讲的。

这是重点！矢量乘法居然有内积和外积。一开始接触的人肯定是一头雾水。只能死记硬背内外积的一对公式定理，还扯上了余弦定理。

余弦定理解释矢量内积是最愚蠢的，没事你把三角定理弄进来干啥？还不够乱？

要理解矢量的内积，我们可以先从内积的结果入手。两个矢量的内积是标量。也就是说，内积至少表明，一个矢量物理量，在沿着矢量的作用，会产生一个标量。

所以内积是描述矢量的某种行为的标量结果。

这是我们得到的第一条结论。也就是说，如果这个宇宙中，矢量会产生标量，那么它就一定会按照这个运算法则产生。而且矢量的数乘是得不到标量的。也就是说

矢量行为的标量结果，必须通过内积完成。

这是第二条结论。

总的来讲，这个宇宙里，矢量要向标量转化，必须通过内积！内积是矢量到标量的必须途径。

放个图，方便讨论

接下去的问题为什么是相同坐标的分量相乘，再累加？可不可以是乱七八糟一通乘，交叉着乘，像外积一样？要彻底理解这个算法的定义，需要配合高斯公式，是很后面的内容了，这里简单说下。这个是数量守恒的必然结果。先把论点抛出来。

数量场守恒：如果一个矢量场及其散度满足Gauss公式描述的相互关系，则其散度所指的那个数量场必守恒。

Gauss公式体是通过矢量的内积运算表示这个守恒律。所以，矢量的内积运算是数量守恒的必然结果。也就是如果你选择相信数量守恒，则在数学上必须定义一种矢量之间的运算表示为

至于称为“点积”、“内积”还是张三李四积都可以。或者说，如果你穿越到了某个平行宇宙，发现那边也有矢量，但是很奇怪

这就说明那个平行宇宙不遵循数量场守恒。

矢量内积的物理意义：表示了宇宙的数量守恒定律

这里暂时可以结合力的作功和能量守恒体会一下。

外积比内积更恶心，有没有

居然弄出了行列式，那我就问你，二维矢量有没有外积？

！！！这个坑很大！！！留着后面填，惯例先说结论：可以有。注意措辞，是“可以”有！

噱微岔开一下。

多元函数的笔记只能如此，我也是一遍遍反复领悟，所以多元函数微积分中，哪个概念是哪个的前提，是不可能有这种说法的。每个概念都交互交织，你必须一遍遍捋。

我们可以用对内积的讨论过程讨论外积。有些过程就略了，你慢慢细品。

结论一，矢量外积是两个矢量作用产生矢量的的方法，不是唯一，因为有矢量加减法。

矢量数乘虽然也是矢量，但这只能算作矢量自身的变化，算不上两个矢量的作用。

考察矢量外积，必须和斯托克斯公式联系起来。原因很简单，外积就是给斯托克斯准备的。你翻遍微积分，偏导、全微分、重积分、两类曲线和曲面积分，最多就到内积，没有外积！斯托克斯表达的是宇宙的另一个守恒律，矢量守恒。

如果一个矢量场及其旋度满足Stokes公式描述的关系，则这两个矢量场构成守恒关系。

和矢量内积一样，我们同样也可以认为，矢量外积是矢量守恒的必然结果。如果你相信矢量守恒，则必须定义外积和这样的运算方式。同样，如果某个平行宇宙矢量外积不是这个样子，这就说明那个平行宇宙不遵循矢量场守恒。

这里暂时想不到一个比较好的物理概念。

回头再看矢量的运算：

• 加、减
• 数乘、数除
• 内积
• 外积

等一下，内除和外除怎么没有？数学怎么能如此不对称！你翻遍任何一本微积分，都没有提到内除和外除。群体性失声！

恭喜你，发现了宇宙运行的另一个规律，关于时间旅行是否可行。这个缺失的东西必然隐藏着重大的阴谋有没有？

细品这篇说的矢量，同样，要理解多元函数微积分，熟练掌握三维空间的矢量运算，直线定义，平面的矢量表示，法线方向，切线求法等等。

下一篇讨论那个缺失的内除和外除，我们来试图探索一下矢量的除法，通过这个看看时间旅行是否可能。