拿几个定律成功解释了开普勒定律（开普勒宇宙三大定律）

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16世纪，丹麦天文观测家第谷·布拉赫发现了仙后座的一颗新星，他进行了连续十几个月的观察，看到了这颗星从明亮到消失的过程，这打破了历来“恒星不变”的学说。现在我们知道这种情况并非一个新星的生成，而是暗到几乎看不见的恒星在消失前发生爆炸的过程。

第谷通过精确的星位测量，企图发现恒星的视差效应，即由地球运行而引起的恒星方位的改变，结果一无所得。于是他开始反对哥白尼的地动说，并提出了这样一种宇宙体系：地球在宇宙中心静止不动，行星绕太阳运转，而太阳则率领行星绕地球转动。17世纪初，他的学说传入中国后曾一度被接受。

在第谷去世后，他的助手开普勒利用第谷多年积累的观测资料，仔细分析研究后，提出了行星运动的三大定律，即开普勒三大定律，为牛顿万有引力定律打下了基础。

1609年，开普勒在《新天文学》中提出了他的前两个行星运动定律。第一定律是关于围绕太阳运动的行星轨迹的定律，认为每个行星的运行轨道是一个椭圆形，而太阳位于这个椭圆轨道的一个焦点上。第二定律是关于行星运行速度的定律，认为行星与太阳的距离时近时远，在最接近太阳的地方，运行的速度也最快，反之，在最远离太阳的地方速度最慢，行星与太阳之间的连线在等时间内扫过的面积相等。10年后，他又发表了行星运动第三定律，认为行星距离太阳越远，其运转周期越长，它的运转周期的平方与到太阳之间距离的立方成正比。另外，开普勒还猜测彗星的尾巴总是背着太阳，是因为存在一种太阳风将其吹开，这是第一个牵涉到光压领域的论述。

开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。开普勒定律彻底摧毁了托勒玫的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不需再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的(即开普勒所说的“和谐”)系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。

当时不论是地心说还是日心说，都认为行星是作匀速圆周运动的。但开普勒发现，对火星的轨道来说，按照哥白尼、托勒密和第谷提供的三种不同方法，即便经过多年的苦思冥想和煞费苦心的数学计算，其结果都与第谷的实际观测不符，于是他放弃了火星作匀速圆周运动的观念，并试图用别的几何图形来解释。

1609年，他发现椭圆形完全适合这里的要求，能做出同样准确的解释。最终，开普勒认识到了所存在的问题：他与第谷、哥白尼以及所有的经典天文学家一样，都假定行星轨道是由圆或复合圆组成的，但实际上行星轨道不是圆形的而是椭圆形的。就这样，开普勒得出了“开普勒第一定律(轨道定律)”：火星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置。”发现行星沿椭圆轨道运动，需有摆脱传统观念的智慧和毅力，此前所有的天文学家，包括哥白尼和伽利略在内，都坚持天体是完美的物体，圆是完美的形状，一切天体运动都是圆周运动的成见。第谷的精确观测加上开普勒的努力，终于将日心说向前推进了一大步。接着，开普勒又发现火星的运行速度不是匀速的，当它离太阳较近时运动得较快(近日点)，离太阳较远时运动得较慢(远日点)。但从任何一点开始，向径(太阳中心到行星中心的连线)在相等的时间所扫过的面积都相等。这就是“开普勒第二定律(面积定律)”。这两条定律刊登在1609年出版的《新天文学》(又名《论火星的运动》)一书中，该书还指出两条定律同样适用于其他行星和月球的运动。

周期定律的发现更艰难，开普勒克服了工作环境的不利与长年的身心疲惫，经过长期繁杂的计算和无数次失败，最后创立了行星运动的第三定律(周期定律)：行星绕太阳公转运动的周期的平方，与它们椭圆轨道的半长轴的立方成正比。这一研究结果发表在1619年出版的《宇宙谐和论》书中。

开普勒的定律给予亚里士多德派与托勒密派在天文学与物理学上极大的挑战。他主张地球是不断地移动的；行星轨道不是周转圆(epicycle的，而是椭圆形的；行星公转的速度不等恒。这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。经过了几乎一世纪披星戴月，废寝忘食的研究，物理学家终于能够用物理理论解释其中的道理。牛顿利用他的第二定律和万有引力定律，在数学上严格地证明开普勒定律，也让人们了解其中的物理意义。完善并简化了哥白尼的日心说。

开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为

开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定律的一个重要基础。

开普勒定律是关于行星环绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因万有引力相互吸引而产生的运动。在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动。然而牛顿定律还容许其它解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。这是开普勒定律无法预测到的。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动。这也是开普勒定律无法预测到的。

开普勒第一定律的证明

设太阳与行星质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置矢量 是垂直单位矢量。

行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°

首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)

力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。

d(r×v)/dt=×v r×dv/dt=0。

积分，得r×v=h(常矢量)

上式表明，行星径矢 r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。

为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向

，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关物理量如下：

径行r=ｒ﹒r° ；速度ｖ=ｄr/ｄt=(ｄr/ｄt)﹒ｒ° r﹒(dα/dt)﹒α°

ｒ°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。

ｄr/ｄt是径向速度分量， r﹒(dα/dt)是横向速度分量

速度大小满足v²=(ｄr/ｄt)² ( r﹒(dα/dt))²

动量mv=m(ｄr/ｄt) m( r﹒(dα/dt))

角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)

得L=m•r ²•(dα/dt)

行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量

太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则

E=½mv²-GMm/r

因 α/dt=L/mv² ｄr/ｄt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式

(L²/m²r²r²)(dr/dα)² L²/m²r=2E/m 2GM/r

上边两式同乘m²/ L²，得

dr²/dα²r²r² 1/r²=2mE/L² 2Mm²/L²r

为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)

于是方程变为（dr/dα）² ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²

上式对α求导。并注意E与L为常量。得

2（dr/dα）（d²r/dα²） 2ρ(dρ/dα)

开普勒第二定律的证明

开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC 向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

开普勒第三定律的证明

在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为

SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1}

sB=1/2rBvB=1/2(a c)vB

根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得

vB=[(a-c)/(a=c)]vA……………………………………………{2}

行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}

Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a c)

根据机械能守恒，应有EA=EB，故得

1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a c)]……………………{4}

由{2}{4}两式可解得

（vA）^2={(a c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}

（vAB）^2={(a-c)GM}/{a(a c)}

由{5}式和{1}式得面积速度为

SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]

椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为

T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}

将(6)式两边平方得:

(a)^3/(T)^2=(GM)/4(兀)^2

-由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的。

开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。开普勒对天文学最大的贡献在于他试图建立天体动力学，从物理基础上解释太阳系结构的动力学原因。虽然他提出有关太阳发出的磁力驱使行星作轨道运动的观点是错误的。但它对后人寻找出太阳系结构的奥秘具有重大的启发意义，为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。

太阳是宇宙的中心，地球和其他行星一样绕太阳公转，16世纪天文学家哥白尼以其大胆的洞察力，提出了太阳系这一引领时代的全新理论，从而带来了一场科技革命。但是直到半个世纪后，德国数学家开普勒利用丹麦天文学家布第谷·布拉赫提供的观察数据，才绘制出了第一张精确的太阳系地图。开普勒的辛劳巩固了哥白尼的理论。他孤军奋战，终于用第谷·布拉赫的观察数据，准确阐述了行星的运动。在有生之年，他的成就没有得到承认，但他的洞察力仍然是现代宇宙理论的基础。

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