极限的局部有界性证明讲解（极限理论的抽象过程）

在《极限理论的建立---极限理论形成历程中的两个困惑》我们谈到，许多数学家曾经被无穷级数

1-1 1-1 1-1 ...

所困扰，现在借助极限表达就可以清晰地讨论这个问题了，先讨论一般的情况，令

a₁ a₂ a₃ ...

是一个级数，用sn=a₁ a₂ a₃ ... a_n表示这个级数的前n项的部分和，这样我们就可以得到一个由前你项和构成的数列

s₁,s₂,s₃,...

并且把无穷级数的问题转化为数列极限的问题。如果存在一个数s，使得当n→∞时，s_n→s，即s为数列{s_n}的极限，则称无穷级数“a₁ a₂ a₃ ... ”是收敛的，否则称这个级数是发散的。用这个定义容易验证“π/4=1/1-1/3 1/5-1/7 1/9-1/11 1/13-1/15 ...”是收敛的。

下面讨论“1-1 1-1 1-1 ...”式中的无穷级数，由前n项和所形成的数列{s_n}为

1，0，1，0，......

这个数列显然是不收敛的，因为对任何的n都有s_n-s_n-1=1或者-1，这不满足

“|a_{n 1}-a_n|≦|a_{n 1}-a| |a_n-a|<2ε” （1)

所示的必要条件。有了极限的语言，很容易就解决了曾经长时间困扰了许多大数学家的问题。

如果说上面的无穷级数的发散是显然的，那么，调和级数的发散性判断就不那么明显了。一个级数被称为调和级数，如果级数中任何一项的倒数都能表示为相邻两项倒数的平均，即

1/an=(1/a_n-1 1/a_{n 1})/2

比如级数

1/1 1/2 1/3 1/4 ... (2)

是最平凡的调和级数。令s_n表示前n项和，因为当n→∞时，s_n-s_n-1→0，因此数列{s_n}满足（1）式所示的数列收敛的必要条件，但是这个级数却是不收敛的。下面的证明式瑞士数学界著名的伯努利家族中的一员雅各布.伯努利给出的。对于任意的n，由

1/(n 1) 1/(n 2) ... 1/n²>(n²-n)/n²=1-1/n

可以推导出

1/n 1/(n 1) ... 1/n²>1

这样，当n趋于无穷大就意味着可以把（2）式所示的级数分割为无穷个组，而每组之和都大于1，因而（2）式的和为无穷大，级数是发散的。