平行四边形的判断与性质（如何判断满足条件的平行四边形是否存在）

已知两个顶点，如何判断满足条件的平行四边形是否存在？

2020年重庆中考数学第25题分解简化题2

如图，点A的坐标为（－1，0），点E的坐标为（2，3），若M是直线x＝1上一个动点，

在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

讲评

一般地，遇到这一类题目我们应该先假设满足条件的四边形存在．

注意到题目没有给出四边形四个顶点的顺序，分两种情况讨论如下：

第一种情况，AE是边（这时四边形可能是AENM，或AEMN）．

如答图1，因为点E的横坐标为2，先把AE向左平移1个单位，这样点E的对应点E′就落在直线x＝1上，相应地，点A的对应点A′坐标为（－2,0）．

再向上平移A′E′（实际上只要过点A′作x轴的垂线）就得到抛物线上点N．

因为点A′的横坐标是－2，所以点N的横坐标也是－2，代入，

如果连接AN，EM，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形AEMN是平行四边形．

类似地，如答图2，把AE向右平移2个单位，点A的对应点A′落在直线x＝1上，则点E的对应点E′的坐标为（4，3），再向下平移A′E′，

注意这时平行四边形是AENM．

（字母顺序发生变化）

感悟1

如何证明所得到的四边形是平行四边形？

这道题牵涉到两种判定方法：一是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，二是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”.

难点在于探究用哪一种方法．

感悟2

在平面直角坐标系中如何把线段的平移化为左右平移＋上下平移？如何求得线段平移后相应点的坐标？这是一个极好的例子．

感悟3

线段中点公式比较少用．第二种情况中，先用中点公式计算中点坐标，然后再用中点公式列方程求未知端点的横坐标．

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