抛物线最大值的计算方法 等积法在抛物线中的应用

等积法在抛物线中的应用——2020年秋襄城区九年级数学期末第25题

所谓等积法，是指构造面积相等的三角形，从而完成等量转换，以三角形面积计算公式为基础，如果两个三角形等底同高，或等高同底，那么这两个三角形面积相等。基本思路是在存在一对共底三角形的前提下，构造等高三角形，利用平行线间距离处处相等这一特性，通过作平行线达到目的；共高原理类似。

等积法和割补法同为解决面积类压轴题的有效方法，割补法有时也被称为铅垂法，各地老师取名不一，实质上都是将不规则图形面积化为规则图形面积求解。

题目

如图，抛物线y=ax² bx 2与x轴交于A，B两点，且OA=2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=1/2，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当∠AFO=90°时，求D点的坐标；

(3)在x轴上有点G(3/2,0)，连接GC、GD、CD，抛物线上是否存在点D，使得△GCD的面积被直线AC为为2：1两部分？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解析：

(1)利用中点公式求解本小题，设点A坐标为(2x,0)，则点B坐标为(-x,0)，它们的中点为(1/2,0)，利用中点公式可得2x-x=1，解得x=1，于是A(2,0)，B(-1,0)，分别代入抛物线解析式中，求得a=-1，b=1，则解析式为y=-x² x 2；

(2)什么时候∠AFO=90°？首先观察△AOC，显然它是一个直角三角形，除此之外呢？点C坐标容易得到，(0,2)，于是它还是一个等腰直角三角形，弄明白这个事实后，再回到刚才那个问题，就容易回答了，当点F在AC中点时，∠AFO=90°，此时点F坐标仍然可利用中点公式求得，为(1,1)，即点D横坐标为1，将它代入抛物线解析式中，可得D(1,2)，如下图：

(3)我们先按要求作一个草图，探索是否存在点D，如下图：

设CD与AC交点为Q，则△GCD被AC分成两部分，分别是△CDQ和△CGQ，题目并未明说2：1两部分是哪个三角形，所以要分两种情况，即S△CDQ：S△CGQ=2：1或S△CDQ：S△CGQ=1：2；

这两个三角形有一条公共边CQ，符合共底三角形特殊，这也是等积法的前提，△CGQ若以CQ为底，我们可作出它的高GH，如下图：

由于前面已经证明△AOC是等腰直角三角形，于是∠OAC=45°，因此△AGH也是等腰直角三角形，AG=1/2，可求出GH=√2/4，即△CGQ中CQ边上的高为√2/4；

①若按S△CDQ：S△CGQ=2：1，则△CDQ的高为2GH=√2/2，我们可作一条与AC距离为√2/2的平行线，它与抛物线的交点即为点D，如下图：

这条平行线与y轴交于点L，我们再过点C作CK⊥DL，由前面步骤可知CK=√2/2，等腰△AOC中，∠ACO=45°，则∠CLK=45°，可求出CL=1，我们可求出直线DL的解析式为y=-x 3，把它与抛物线联立得-x 3=-x² x 2，解得x1=x2=1，此时点D横坐标为1，即m=1；

②若按S△CDQ：S△CGQ=1：2，则△CDQ的高为1/2GH=√2/8，我们可用一条与AC距离为√2/8的平行线，它与抛物线的交点即为点D，如下图：

方法与前一种情况类似，只不过CK=√2/8，CL=1/4，此时直线DL的解析式为y=-x 9/4，把它与抛物线联立得-x 9/4=-x² x 2，解得x1=1-√3/2，x2=1 √3/2，此时点D横坐标m为1-√3/2或1 √3/2，上图中作出了其中一个交点D，另一种情况如下图：

综上所述，m有三个结果，分别是1，1-√3/2，1 √3/2.

解题反思

此题用割补法当然是可行的，只是无论过点D作垂线或是过点Q作垂线，在计算量上均不少，相对而言，等积法需要计算的都在特殊三角形中，本题中就出现了多次等腰直角三角形；

我们在平时讲题过程中，等积法的应用场景远不止求面积，它还能用于探索三角形存在性等，在多数情况下，它的光彩被割补法掩盖了，学生对作水平分割或垂直分割轻车熟路，因此极易形成思维定势，即使计算量会复杂，但在那一刻想不到新的方法，多数会坚持“死算”，这并不符合数学解题目的，解决数学问题，追求思路的简洁，这对于未来算法模型的研究有很大帮助。

毕竟数学讲究简洁之美。

爱数学做数学