空间连线2（点与空间续二）

话题：#科学# #数学# #点集拓扑#

小石头/编

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想必大家对于 “稠” 这个概念并不陌生，在日常生活中，我们经常会用它来描述浓度高的溶液，例如：我们会说，一杯浓稠的咖啡。

当咖啡溶液足够浓稠时，我们用任何放大倍率的显微镜，瞄准任何一个水分子，都会在镜头中看到咖啡分子，若，分别用 A 和 B 表示 咖啡 和 水，则有，

• 对于任意 x ∈ B 的任意 邻域 U，都有 U ∩ A ≠ ∅；

称 A 在 B 中 稠密。从这个定义中可以看出：

• 稠密就意味着，对于 任意一个水分子，都有任意逼近它的 咖啡分子存在；

这说明，

• B ⊆ A‾

这同时还说明（仅在 度量空间 中），

• 可以用 咖啡分子 序列 的极限，来 指向 每一个水分子（就像续篇中 用手指指向 苹果上的虫眼一样）；

数学上，大家最熟悉的例子就是：

• 有理数集 ℚ 在 实数集 ℝ 中 稠密，

于是我们可以用 有理数序列的极限，来表示 任何 实数（包括 无理数），例如，

• 0.999... = 0.9, 0,99, 0.999, ... → 1
• 0.499... = 0.4, 0.49, 0.499, ... → 1/2
• 1.4142... = 1.1, 1.41, 1.414, 1.4142, ... → √2
• 3.1415... = 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... → π

这就是 大家熟悉的 无限小数。

注：人类最早认为 稠密和完备是一回事，即，数都是有理数，后来无理数的发现，才将两个概念分开。

上例中，将水 B 换成 整个咖啡溶液 X = A ∩ B，则 A 依然在 X 中 稠密，这时由于 A ⊆ X，称 A 是 X 的 稠密子集。显然，ℚ 是 ℝ 的 稠密子集。

有 “稠密” 就有 “稀疏” ，当咖啡溶液足够稀薄时，则 其的每个局部，咖啡都是不浓稠的，也就是说，咖啡在 咖啡溶液 里 没有一处是稠密的（无处稠密），即，

• 对于任意非空 V ⊆ X，A 在 V 中 不稠密（这里，须保证 V 不能是 A 中的封闭点集，所以 我们要求 V 是 开集）；

称 A 是 疏集 （或 疏朗集）。可以证明：

• A 是疏集 当且仅当 (A‾)° = ∅

注：有些教程，直接将这个性质作为 疏集 的定义，于是就会有学生问：

为啥定义不是 A° = ∅ 呢？

这时，可以举ℚ的例子：

虽然 ℚ° = ∅，但是 ℚ 在 ℝ 是稠密的 并不 稀疏呀！实际上 (ℚ‾)° = ℝ°=ℝ≠∅，所以 ℝ 不是疏集。

进一步，可数个疏集的并，称为 第一纲集，非第一纲集的集合，称为 第二纲集。如果一个性质P满足仅仅满足第一纲集，则P是稀有的，否则P具有普遍性。

有了 稠密 和 疏朗 的概念后，我们就更容易 看清 正文中 点集 各种操作了，

同时也不难总结出，

• A°=((Aᶜ)‾)ᶜ, A‾=((Aᶜ)°)ᶜ
• (A°)°=A°, (A‾)‾=A
• A°⊆A⊆A‾
• A⊆B ⇒ A°⊆B°, A‾⊆B‾
• (A∩B)° = A°∩B°, (A∪B)‾ = A‾∪B‾

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续篇中我们说过：由于 拓扑空间 没有 引入距离，因此 度量空间 中 那些 依赖 距离 的良好性质，拓扑空间 都不具备；例如：序列极限（及相关概念——完备性）。

不过，硬要在拓扑空间 中定义 序列极限，也不是不行，为此可以利用 邻域，将度量空间中 序列极限 的定义 改造如下，

• 对于 a 的任何邻域 U，都存在正整数 N，使得 子序列 {aN 1, aN 2, aN 3, ...} ⊆ U；

则称 a 是 序列 {a₁, a₂, a₃, ...} 的 极限。由于 邻域 无法表示 无限逼近 之意，所以 这里的极限 和 度量空间中的极限，差异很大，例如：这里 就无法保证 极限的唯一性。①

另外，我们知道 度量空间 中 极限 和 连续性 是 关联的，即有，

• 函数 f(x) 在 a 点连续，当且仅当，任取 以 a 为极限的 序列 {a₁, a₂, a₃, ...} ，在 f 的映射下的序列 {f(a₁), f(a₂), f(a₃), ...} 都以 f(a) 为极限；②

但是 度量空间 中 ，我们无法保证这一点。准确的说，⇒ 没问题，而 ⇐ 不行。后者的问题是出在，拓扑空间对于邻域结构完全没有约束。如果，我们能保证，a 点 有如下的邻域塔，

• U₁ ⊃ U₂ ⊃ U₃ ⊃ ...

向 a 点逼近，则由下图可以证明 ⇐了。

为此，可以从 a 的邻域中挑选一些邻域组成 ℬ，条件是：

• 对于 任何 a 的邻域 V 都存在 ℬ 中的 邻域 U，使得 U ⊆ V；

称 ℬ 为 a 的 邻域基。然后，从 ℬ 任意取出（指有删除的取出）来一个 邻域 V 作为 邻域塔 的 U₁ ；

• 从 ℬ 中任意取出来一个 邻域 V，和 塔顶 U 比较：
• 若 U ∩ V = ∅ 或 U ⊆ V，则 舍弃 V；
• 若 U ⊃ V ，则 将 V 添加到塔顶；
• 若 以上都不满足，则 U ∩ V 是 a 的邻域，根据 邻域基 的定义，可在 ℬ 中 取出 一个 V' ⊆ U ∩ V 添加到塔顶；

不断重复 这一步，就可以从 其中 得到 一个 邻域塔。

为了能让该邻域塔，就a的所有邻域来看，是向 a 点逼近的，我们还必须保证 该邻域塔 是 a 的一个 邻域基。为此，ℬ 就必须是 可数的，这样 上面的 递归构造过程，才能 穷尽 ℬ。

以上分析说明，只要，

• 拓扑空间中的任意点 都存在 可数的 邻域基；

就可以保证 ②。上面条件 就是 第一可数。

受到 邻域基 启发，我们也可以 在 X 中 找到 一些子集 组成 ℬ，令，

• τ(ℬ) = {∪ℰ | ∀ ℰ ⊆ ℬ }

可以证明若 ℬ 满足：

• ∪ℬ = X；
• 若 A, B ∈ ℬ 则 存在 ∃ C ∈ ℬ 使得 C ⊆ A ∩ B；

则 τ(ℬ) 是 X 的一个拓扑，此时 称 ℬ 是 τ(ℬ) 的一个 拓扑基。若，

• 拓扑空间的拓扑存在一个可数的 拓扑基；

就是 第二可数。

与可数相关的概念还有，若，

• 拓扑空间 中存在 可数的 稠密子集；

就是 可分。

可以证明，以上三种不同 可数的 拓扑空间 和 度量空间之间的关系如下图：

从上图可以看出，

• 度量空间 是 第一可数的 拓扑空间；
• 可分的度量空间 是 第二可数的 拓扑空间；

那么，什么情况下，拓扑空间 是 度量空间呢？

回头看，上面的讨论，可数性只是解决 ② 的问题，而 ① 依然存在！这里的原因是，对于 度量空间中 的任意两个 点 ，总能找到分别以 它们为 焦点的 显微镜头，彼此不可见，即，

• T₂： 对于 任意两个不同点 a, b，都存在 开集 U, V ，使得 a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅；

但是 拓扑空间 不一定满足。称 满足 T₂ 的 拓扑空间 为 Hausdoff 空间 。

将 T₂ 定义中的 两个点 ，都替换为 闭集，就是 ，

• T₄ : 对于 任意两个不相交的 闭集 A, B，都存在 开集 U, V ，使得 A ⊆ U, B ⊆ V, U ∩ V = ∅；

度量空间 同样满足 T₄，拓扑空间 不一定。而 称 满足 T₄ 的 拓扑空间 为 正规的 。

注：只有在 单点集 是 闭集 的条件下，T₄ 才一定是 T₂；

显然，

• 度量空间 一定是 正规 Hausdoff 空间；

反过来，可以证明，

• 第二可数的 拓扑空间 是 度量空间 当且仅当 是 正规 Hausdoff 空间；③

这就是 著名的 Uryshon 度量化定理。（这个定理的证明非常美妙，当年小石头学到这里的时候，被其思路深深的震撼！）

后来，又有数学家，将 ③ 中条件，

• 第二可数：有可数的 拓扑基；

• 正规 Hausdoff 空间

进一步弱化如下：

• 有 δ-局部有限的 拓扑基；

• 正则 Hausdoff 空间；

其中，

δ-局部有限 指：可数个 局部有限 点集族 的并；

点集族 指：由点集组成的集合；

局部有限 指：对于 空间中 任意 点 ，都存在邻域只与 点集族 中有限个 点集 相交；

将 T₂ 定义中的 一个点 ，替换为 闭集，就是 T₃，满足 T₃ 的 拓扑空间 就是 正则的。

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本篇后半段干的事情，本质上，都是在 给拓扑空间中 添加特性，让 其极限 更接近 度量空间的极限，然而 拓扑空间 的 极限 必经与 度量空间 不同，因此就一定具有 独特的 收敛特性。可是，上面的极限定义，仅仅是从 度量空间 来的粗暴移植，其未必能完全体现 拓扑空间的 收敛特性，于是这就要求 有更好的定义，这就是——网 和 滤子。由于本系列，注意是将 点 和 空间的 关系，不想过多的 深入 极限的话题，于是 就不 展开 讨论 网 和 滤子 了。有时间，小石头 会 从新 写 关于 极限的 系列 文章，进行 详细讨论。

（由于，拓扑空间的 引入，从本篇开始，很多东西 都是 反直觉的，大家切不可以 固执于 现实世界 中的 直觉思维！）

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