乐理音数的升降问题（分音列上各分音的计算方法详解）

在查阅到的各种乐理、音律之书，都提到过分音列的概念，但对于如何计算分音列上各音的方法，大多语意不详，只简单地介绍了一下基础的分音比例，并拿出C音的分音列作为例子。让许多人，尤其是初学者只能靠死记硬背来学习。

复合音的产生是根据物体振动时，不仅整体在振动，它的部分同时也在振动，因此，平时所听到的声音，都不只是一个声音，而是由许多个声音组合而成的，于是便产生了复合音。试在钢琴上弹一较低的音，用心聆听，不难发现，除了最响的音之外，还有一些非常弱的声音同时在响，这就是全弦的振动和弦的部分振动所产生的结果。

由全弦振动产生的音叫做“基音”，而琴弦的各个部分的振动产生的音就叫做“泛音”或“倍音”。将构成复合音中的各个音（分音）排列起来就构成了“分音列”。

先来看看C音的分音列，1分音即是基音。

教科书中，并没有详细介绍每个分音位置的音高是如何推导计算出来的，只是要求熟记这个C音的分音列，遇到其他音高的分音，则可用相同位置间的音程关系，套出来。比如说要E音的分音列：

第二分音是基音的八度音，所以是e，第三分音是第二分音的上方五度音，所以是b；第四分音又是第二分音的八度，所以是e1；第五分音是第四分音的大三度，所以是#g1；第六分音是第三分音的八度，所以是b1；第七分音是第六分音的小三度，所以是d2„„但这个第七分音是如何确定与其他分音之间的音程关系的呢？此外，象第十一、第十三和第十四都有同样的疑问。

我们知道声音的高低由音频高低所决定，对于弦振发音而言，音频之比恰等于各音弦长之比的倒数。比如一对八度音程关系上的两音音频比为高音比低音：2：1，则高音的弦长等于低音弦长的1/2，即高音为低音的2分音。

则在分音计算中，首先需牢记几个基本的比数关系：

1/2（八度音关系）、2/3（纯五度音关系）、3/4（纯四度音关系）、4/5（大三度音关

系）、5/6（小三度音关系）；

其他各分音位置上的音高，都可籍此计算出来。

一、二分音

先来看2分音，是基音的八度音，这最易理解，没有疑问。由此，我们很容易将分音列上的4分音、8分音、16分音推算出来，因为它们各自是其前一音的二分音，按八度关系第次升高即可：

设若基音为C，依次是c、c1、c2、c3。

二、三分音

三分音即基音的三分之一弦长发音。

基音弦长三分之二的发音，是基音上方纯五度音，其与基音音频比为3/2；而三分之一弦长发音是三分之二弦长发音的二分音，即基音上方纯五度音的八度音。由此，三分音的各个八度音的分音数也容易得到：6、12分音——它们和三分音都是八度音程关系。

三、四分音

四分音是二分音的二分音，可以直接得出音高结论。但这里需要用到剩余弦长（3/4）的发音与基音之间的频比关系——4：3，这是一对纯四度音程上两音音频的比值，是将纯五度音程中的低音，升高一个八度（音程转位）而来。

所以，四分音剩余弦长之音是基音上方纯四度音，设若以C作为基音，则这个音就是F音。四分音同时也是这个F音的三分音，是其上方纯五度的八度音，即c的八度音音c1。

这与直接用二分音得来的结果是一致的。

这种将分音弦长与全弦分音后的剩余弦长之比，作为中间值，来推导分音与基音之间的音程关系，是计算分音方法的基本思想：

即四分音弦长（1/4）：剩余弦长（3/4）：基音弦长（1）=1：3：4；其中的1/3就是纯十二度音程（见三分音推导——1：2：3），3/4则是一个纯四度音程，纯四度 纯十二度=纯十五度（两个八度音程）

四、五分音

五分音的计算方法亦采用在四分音中提出的，以剩余弦长作为比数中介的思路。

这样，很容得到这个比数——1：4：5，这里的1：4，即四分音的音频比数，可知道这个五分音是4/5弦长所发音高上的纯十五度音程。但这里的4：5又是一个什么音程关系上的两音比数呢？

我们将五分音的弦长数设为1， 则基音弦长为5，减去五分音弦长后的长度为4。现在，我们先把整体弦长增加1，则全弦长度为6，这个新的长度上的基音，我们暂且将他命名为“基音x”。

这样原来基音的五分音，变作“基音X”的六分音，音高不变。我们先把他放在一边。 原基音的五分之四弦长的发音，则是“基音X”的纯五度音，五分音二倍弦长的音则是这个五度音上的八度音。

原基音的音高，则介于基音X与弦长为4的那段弦音的音高之间。

这样，三段弦长的比值为——（五分音剩余弦长）4：（基音）5：（基音X）6；其中，

4：6，去除公约数就是2：3，这是一个五度音程的比数。5则为4、6之间的唯一整数，则应该是两音中间的那个三度音，而4/5（五分音剩余弦长：基音弦长）要小于5：6（基音弦长：基音X弦长），所以前者为大三度，后者为小三度。

实际上，4：5：6正是纯律中三度音程关系上的生律法则。

既知4/5弦长为基音的三度音，则五分音恰是这个音的四分音，是其上两个八度之音。设若基音为C，其上大三度音为E，则基音的五分音为e1。

至此，我们知道了八度、纯五度、纯四度、大三度与小三度各音程之间的音频与弦长比数，通过这些关系，我们可以推导出大多数分音的音高——

六分音可以根据其与四分音或三分音之间的关系得出，也可以直接用五分音上小三度音来求得；

九分音则是三分音的三分音；十分音是五分音的倍音；十二分音是三分音的四分音，是四分音的三分音，是六分音的倍音；十五分音是三分音五分音的三分音„„

这里似乎对于七分音、十一分音和十三分音的推导问题还未解决，我们继续来看：

五、七分音

从给定的C音分音列来看，七分音是基音上方小七度音程，再向上两个八度的音高。将这个音降下两个八度，则是基音上方小七度音的音高，这个音与基音的弦长比应接近4/7。

分音列既然作为纯律的生律依据，则我们可以先用纯律的方法，先推导出基音与其上方小七度音（以下简称“小七度音”）之间的比数关系，看看是否能过比较接近4/7弦长上的音高与基音的比数。

小七度音是基音上方纯五度音之上的小三度音，依照纯律，小三度音的弦长比应为5：6，则2/3×5/6=5/9，这个数，虽较接近于4/7，但还不能还原到七分音与基音的关系上。

我们还是试用五分音的方法来求证：

D段为C段（基音弦长）的七分音，A段是B段的3/4，即A的音是B的音上方纯四度；纯四度的音数为5（五个半音），则基音在其中间，距离两端音分别为小三度（音数3）和大二度（音数2）；按三音弦长比为6（A）：7（C）：8（B），6/7<7>

注：实际上，这只是个近似的结果，因为在乐律中，只有八度音之间的音频比值最为精确，其他频比或弦长比，在各种律法中相互都有出入，比如以五度相生律推导的大二度之间的音频比为9/8（高音比低音），换算为小数得1.125；十二平均律中则是1.0594632=1.12246185；小三度按纯律为6/5，换算小数为：1.2；而7/6≈1.1667，故小三度上方音的实际音高要比纯律来得低一些。

故A段弦发音音高接近基音上方小三度音。设若基音为C，则其6/7弦长发音音高接近bE；

A段弦长的2/3，所发音是A段发音的高纯五度，即bB，而这段弦长为基音弦长的4/7！ 所以七分音在此基础上移高两个八度，为bb1（大多数教科书在这里都会注明“比实际音高略低”）。

六、十一分音、十三分音

十一分音如法推算，带入十分音和十二分音，这两个音之比，是纯律小三度，中间音数为3，十一分音恰在两音中间，约略为十分音上大二度和十二分音下小二度。

十三分音亦是如法。

十六分音向上，各音都是以半音关系递升，且半音之差渐趋微小。对于自然音而言，已无讨论必要。

,