角平分线的六种辅助线（由角平分线想到的辅助线）

看到角平分线，你能想到哪些知识点？你能想到几种做辅助线的方法？角平分线最基础的知识点当然是角平分线的概念，由角平分线可以得到两个角相等，如果你仅仅想到这边，那么说明你并没有合格地掌握该知识点。最起码还应该想到角平分线的性质定理和判定定理，并且角平分线的性质定理也是很常见的辅助线之一。

角平分线的性质定理为，角平分线上的点到角两边的距离相等，由此我们可以过角平分线上的任意一点作角两边的垂线，从而得到垂线段相等。

例题1：已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．

分析：很多题目，会将角平分线的性质定理与角平分线的判定定理结合起来使用。比如本题，已知BE、CF为角平分线，可以借助角平分线的性质定理，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明点P在∠A的平分线上。

证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，

∵BE平分∠ABC，点P在BE上，

∴PD=PM，同理，PM=PN，

∴PD=PN，

∴点P在∠A的平分线上．

辅助线二：角平分线 平行线构造等腰三角形

例题2：（1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD；

（2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD CE；

分析：通过对图①的证明，我们可以得到角平分线 平行线构造出等腰三角形这个结论，当OC为∠AOB的平分线时，在射线OC上任取一点，过该点做OA或OB的平行线，都可以得到等腰三角形。利用该结论，我们可以解决一系列的问题。

证明：（1）∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵DE∥OB，

∴∠DEO=∠BOC，

∴∠DEO=AOC，

∴DE=OD；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，

∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．

∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO，

∴BD=DO，OE=CE，

∴DE=BD CE；

遇到角平分线，可以过角平分线上任意一点，做垂线，与两边相交，通过三线合一构造等腰三角形。

例题3：已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，过点B的直线BE交直线AC于D，CE⊥BE于E，当BE平分∠ABC，求证：BD=2CE；

分析：延长CE，BA交于F，根据已知条件得到∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，推出△CBE≌△FBE，由全等三角形的性质得到CE=EF，证得CF=2CE，通过△ABD≌△ACF，得到BD=CF，等量代换得到结论。

辅助线四：角平分线 截长补短法构造全等三角形

例题4：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：BC=AB CD

分析：在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，可证明△EAB≌△FBE，进而得到∠A=∠BFE，通过AB∥CD可得到∠A ∠D=180°，再加上邻补角得到∠EFB ∠EFC=180°，等角的补角相等可得∠EFC=∠D，然后证明△EFC≌△EDC，利用全等三角形的性质证明CF=CD即可解决问题。

截长补短法也可与角平分线的概念结合起来考查，构造全等三角形。