数学发展史的4个阶段（了解一点数学史）

中国著名数学家吴文俊先生曾经指出：“克莱因写了一本《古今数学思想》，他把印度作为古代东方数学的代表，而忽略了中国，其他许多外国数学史书也有类似的倾向。其实，真正代表东方数学的应该是中国。”而近年来，经过国内外数学史家的工作，这一观点已逐步得到证实。

和古巴比伦、古埃及、古印度一样，中国也是人类文化的发源地之一。作为世界著名的文明古国，中国数学的的发展历史可以用八个字来概括：源远流长，成就辉煌。

数学是中国古代非常重要，同时也是最为发达的学科之一，其发展历史大概可以分为四个阶段：

第一阶段：先秦时期，中国古代数学的萌芽

早在远古时期，在文字还没有采用之时，我国就有“结绳记事”、“刻木记事”。“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡”，意思是说，通过绳结的大小、多少，来表示数量的多少、事情的大小和重要程度。刻木是指通过在木片、竹片、骨片上刻痕，记录数字、事件或传递信息。我国出土的新石器时期的陶器，大多为圆形或其他规则形状、有3个着地点，陶器上还有几何图案。这说明，古代的先人们已经在辨别事物的多寡中逐渐认识了“数”，并对“形”有了初步的概念。

据《史记》记载，夏禹在治水时“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道”。“规”和“矩”是中国传统的几何工具。

商代时甲骨文已发展成熟。据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。十进位制是中国对世界数学的伟大贡献，是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。大概从春秋时期起，普遍采用“算筹”这种先进的计算工具。

象牙算筹

人们丈量土地面积、测算山高谷深、计算产量多少、粟米交换、制定有有历法等，都需要数学知识。

至春秋战国时代，算术四则运算已经成熟。除了整数之外，中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及。

战国时期的诸子百家，和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如：“平，同高也”（指平行）；“中，同长也”（指线段的中点）；“寰，一中同长也”（指圆心或球心，圆周或球表面任意一点到中心的距离相等）……这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。名家的著名代表人物惠施曾提出：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”。这里的“大一”、“小一”是无穷大和无穷小的意思，是名家对“无穷”概念的深刻认识。这些都是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。

第二阶段：汉唐时期，中国古典数学体系的形成

从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，数学也有了长足的发展。

《周髀算经》大概成书于西汉时期（公元前2世纪），原书名为《周髀》，本是一部天文学著作，但其中包含了深刻的数学内容，如：分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。

《周髀》一书的卷首，记述了一段周公与商高的对话：“昔者周公问于商高曰：……昔者包牺立周天历度，夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五……故禹之所以治天下者，此数之所生也。”这里叙述了勾股定理的一个特例，是我国有关勾股定理的最早记录。

《九章算术》的成书，标志着我国古典数学理论体系的形成。该书是西汉时期由国家组织力量编纂，由丞相张苍、天文学家耿寿昌收集秦火遗残整理修订而成。全书采用问题集的形式，共有246个应用题，内容丰富且密切联系实际。每道题都有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术。九章内容如下：

第一章：方田，主要论述各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则；第二章：粟米，论述了20多种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比例及四项比例算法（当时称“今有术”）；第三章：衰分，主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业、及社会制度有关；第四章：少广，主要成就包括开平方、开立方的算法；第五章：商功，论述各种立体图形的体积算法，包括柱、锥、台、球体等，涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题；第六章：均输，论述较为复杂的配分比例问题，其中的“均输术”反映了当时的“均输制”税赋徭役，类似于条件极值问题；第七章：盈不足，论述盈亏问题的解法；第八章：方程，主要研究线性方程的解法，基本思想是消元；第九章：勾股，讨论有关勾股问题的解法，及简单的勾股测量。《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国古典数学的发展有着极其深刻的影响

《九章算术》的以下数学成就，处于世界领先地位：（1）分数运算系统遥遥领先于世界各国，欧洲直到16、17世纪才有人总结出分数四则运算法则；（2）求最大公约数的“更相减损术”，与西方的”欧几里得算法”完全相同；（3）“今有术”相当于文艺复兴时期被欧洲人誉为“黄金法则”的印度“三率法”；（4）开平方和开立方法，一直到15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西才提出开方的完整步骤，而欧洲则更迟；（5）“盈不足”术，中世纪时期的欧洲人视为算术问题的万能解法；（6）负数概念及有理数运算法则，印度人在600年以后才承认负数，而欧洲人则要到1500年以后；（7）求解线性方程的消元法，在国外被称为“高斯消去法”，直到19世纪才由“数学王子”高斯给出；（8）几何体体积的求法等。

《九章算术》问世以后，我国的数学著述基本上沿着两条路走：一条是给《九章算术》作注；一条是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。魏晋时期，著名数学家刘徽于263年作《九章算术注》，全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，首创了求圆周率的正确方法（即著名的“割圆术”），指出并纠正了《九章算术》的某些不精确之处或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术。数学史界有一个普遍的观点是：如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精髓。

魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国之后的又一个繁荣时期，当时思想界有“清谈”、“析理”之风，与此相应，当时的数学家们重视理论研究，数学著作较多。刘徽作《九章算术注》、《海岛算经》；赵爽给《周髀》作注；祖冲之继承刘徽的思想，将圆周率精确推算到3.1415926，并著《缀术》；祖冲之的儿子祖暅，发现总结出“祖暅原理”。这些成就使中国古典数学在理论方面达到了一个新的高度。

历史上著名的“算经十书”，是指由唐朝数学家李淳风等人审定、注释的十部数学著作：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《缉古算经》。

第三阶段：宋元时期，中国古典数学的兴盛

宋代结束了五代十国的封建割据动乱局面，社会较稳定，经济较繁荣，极大地推动了科学文化技术的发展。宋元时期一个显著的特点是：数学家及其数学著作的大批出现。据不完全统计，著名的数学家有数十人，有记载的数学专著百余种，远远超出了之前各个时期。

宋元时期，数学研究的内容也有显著变化，是以代数为中心。高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数、数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的最高水平。

贾宪是北宋数学家，他创造了“增乘开方法”，1050年前后著《黄帝九章算经细草》。贾宪的著作虽已失传，但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘录在他自己的著作《详解九章算法》中。贾宪的“增乘开方法”已经可以用于解高次方程，但他本人仅用它来处理开方问题。将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶，《数书九章》是其代表著作。秦九韶的一项巨大功绩是：建立了较为系统的解决一次同余式（组）的数学理论（“大衍术”）。在西方，直到18世纪，经欧拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比较系统的建立起一次同余式的理论，这在当时的数学界引起了很大的轰动，当时居世界数学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些成果，以示祝贺。然而他们并不知道，早在500年前的东方中国，相应的成果就已经灿烂夺目了。当然，西方数学家做出了更为细致的讨论和严格地证明，这是他们的进步。1852年，英国人伟烈亚力首次向西方介绍了秦九韶的“大衍术”，德国人马蒂生从1876年开始发表了一系列论著，高度评价秦九韶的“大衍术”，指出它与高斯定理是等价的。1957年，玛赫勒发表“中国剩余定理”的论文，首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就，以表彰中国数学家们做出的杰出贡献，这一命名很快风行全球并被教科书采纳。

“天元术”是我国数学的又一项杰出创造，指的是利用未知数列方程的一般方法。数学家李冶（1192-1279）的著作《测圆海镜》和《益古演段》，系统的研究和介绍了“天元术”。元代杰出的数学家、数学教育家朱世杰，推广了天元术，提出用“四元术”来解四元方程，这可以说是中国筹算代数学的顶峰。朱世杰的数学专著《四元玉鉴》，主要是对多元高次方程的研究。四元术中的“相消法”，是中国数学史上一项杰出的成就，西方这方面的成就比朱世杰晚了近500年。因此，美国科学史家称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。

沈括（1031-1095）是一位博学多才的科学家，他出生于名门望族，在北宋朝廷做过官，晚年著《梦溪笔谈》，被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。《梦溪笔谈》在数学方面的主要成就有：提出了高阶等差数列求和的“隙积术”；由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”；计算棋局总数的“棋局都数”。

第四阶段：明清时期，中国古典数学的衰落

从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始萌芽。封建统治阶级为了维护其统治地位，规定科举必须采用“八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等为“奇技淫巧”。经历宋元高峰时期，中国的古典数学理论已经发展到了一定的高度，另一方面，实际的生产力水平相对比较低下，这就导致了一种脱节的状况。由于多方面的原因，中国古典数学在明朝开始走向衰落。

虽然数学理论的发展衰落停滞了，但商业数学异军突起，有了很大的进步，比如：珠算。自宋代提出了改革筹算，到元明之际，珠算盘作为数学计算工具，其应用日益广泛。至明代中叶，珠算已在全国普及，彻底完成了筹算到珠算的转变。珠算盘携带方便，拨动自如，并且有口诀相配合，计算迅速准确，是当时世界上最好的计算工具。

明末清初，西方数学开始传入我国。1582年，意大利传教士利玛窦来到中国。1606年，由利玛窦口授，徐光启笔述，翻译了《几何原本》的前六卷，这是我国翻译西方数学书籍的开始。

西方数学知识的传入，给衰落的中国数学带来了刺激，之后中国的数学研究出现了两个倾向：一是对西方传入的数学进行整理、加工、消化和吸收；二是重新钻研整理中国的传统数学。这期间，也出现了一些了不起的数学家。清朝数学家梅文鼎（1633-1721）编撰了《梅氏历算全书》，对中国数学的发展起到了承前启后的作用。与梅文鼎同时代的王锡，著有《圜解》，是中国最早的三角学著作之一。年希尧所著《视学》，是有关透视学和画法几何的著作，比号称“画法几何之父”的法国数学家蒙日的《画法几何学》（1799）早70年。

1840年鸦片战争后，李善兰、华蘅芳等人在翻译介绍西方数学方面做出了杰出贡献。20世纪初，中国沦为半殖民地半封建社会，中国数学与西方融合发展，走向了世界化的道路。

略述中国数学教育

我国古代数学教育历史悠久，是世界上最早进行数学教育的国家这一。《礼记·内则》记载：“六年教之数与方名……九年教之数日，十年出外就傅，居宿于外，学书记”，意思是说，六岁的时候，教给孩子识数和辨认方向……九岁的时候，教给孩子怎样计算日期……《周礼》中记载的小学教学内容为六艺：礼、乐、射、御、书、数，其中“数”指的是九数，即后来的《九章算术》中的一些基本内容。将数学教育写入国家典制，这在世界历史上也是罕见。

西汉《九章算术》问世后，即成为基本的、最重要的教材之一。

隋统一全国后，创立了科举制度，建立了全国最高学府国子寺，并在国子寺里设立了“明算学”。明算学内设算学博士两人、算学助教两人，从事数学教学工作。明算学是专门的教育机构，这在我国数学教育史上具有里程碑意义。唐代时，最高学府国子监里设有“明算科”，为了满足教学的需要，由当时的数学家李淳风等人审定并注释了十部数学著作做教材，即“算经十书”。明算科规定学制为7年，学习期满后要参加考试，对学习内容、考试内容、录用规则都有明确规定，已经形成了一套比较完善的数学教育制度。后来我国的数学和教育制度还传入朝鲜、日本等邻国，他们的数学教育和教科书基本上是采用我国的。

宋元时期，官办的数学教育有所衰落，民间的数学教育比较盛行。当时许多有名的数学家，如杨辉、李冶、朱世杰、郭守敬等，或设馆招徒，或云游四方讲授数学。有的还自编自著数学教材，如杨辉的《习算纲目》，朱世杰的《算学启蒙》。这些都推动了数学教育的发展。

明清时期的“西学东渐”，翻译过来的《几何原本》对我国中小学教育产生了很大影响。清末开始兴起新式学堂，数学教材大多采用李善兰、华衡芳的译作。民国、新中国成立前，也有些学校直接采用西方和欧美的教材。