高数函数与极限公式大全（数学笔记-同济第七版高数）

设lim(x->x0)f(x)=A, lim(x->x0)g(x)=B, 则

ps：此时引入一个概念：

若lim(x->x0)f(x)=A，可认为f(x)=A α，α->0 (x->x0)

意思是在x趋向于x0时，函数值等于一个常数加上一个无穷小，下面证明会用到

1、加减法：lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=A±B

证明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

∴ f(x) g(x)=A B α β

由无穷小性质的值，(α β)->0

∴ f(x) g(x)=A B γ，γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)[f(x) g(x)]=A B (减法同理可证)

2、乘法

（1）若k为常数，lim(x->x0)kf(x)=kA

证明：

f(x)=A α, α->0(x->x0)

kf(x)=kA kα

由无穷小的性质(kα)->0 (x->x0)

∴ kf(x)=kA β,β->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)kf(x)=kA

（2）lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

证明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

f(x)g(x)=(A α)(B β)=AB Bα Aβ αβ

由无穷小的性质(Bα Aβ αβ)->0 (x->x0)

∴ f(x)g(x)=AB γ, γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

3、除法：若lim(x->x0)g(x)=B≠0，则lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

证明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

f(x)/g(x)=(A α)/(B β)这样很难用到无穷小的性质证明f(x)/g(x)=A/B ...

所以证明f(x)/g(x)-A/B为无穷小比较方便

|f(x)/g(x)-A/B|=|(A α)/(B β)-A/B|

=|(Bα-Aβ)/B(B β)|=|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)

|Bα-Aβ|可由无穷小的性质证明还是无穷小

对于|Bα-Aβ|

all ε>0

存在δ1>0

当0<|x-x0|<δ1, |Bα-Aβ|<ε (1)

对于1/(|B||B β|)

易证1/(|B||B β)<2/(b^2) (2)

结合（1）（2）

all ε>0

存在δ>0

当0<|x-x0|<δ时，||Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)|<ε

所以|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)为无穷小

所以|f(x)/g(x)-A/B|为无穷小

所以lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

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例1：lim(x->2)(3x^2-2x 3)

=lim(x->2)(3x^2)-lim(x->2)(2x) lim(x->2)(3)

......

=11

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例2：lim(x->1)[(x^2 x-2)/(x^2-1)]

=lim(x->1)(x^2 x-2)/lim(x^2-1)

......

=3/2

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例3：lim(x->∞)[(2x^2-x 2)/(x^2 1)] (分子分母同除以x^2)

=lim(x->∞)[(2-1/x 2/x^2)/(1 1/x^2)]

......

=2

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例4：lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]

=lim(x->∞)[(1 2/x-1/x^2)/(1/x 1/x^2)] (分子是无穷小，不方便计算，改求原函数倒数)

lim(x->∞)[(1/x 1/x^2)/(1 2/x-1/x^2)]=0

由无穷小无穷大性质

lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]=∞

二、一元多次分数极限规律

P(x)=anx^n ... a1x a0

Q(x)=bmx^m ... b1x b0

（1）若n=m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=an/bm

（2）若n>m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=∞

（3）若n<m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=0

也就是说，对于一元多次分数的函数，只看分子分母最高次幂是多少。

三、复合函数极限

设y=f(u) u=g(x)

若lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a

则lim(x->x0)f([g(x)])=A

证明：

all ε>0

∵lim(u->a)f(u)=A

∴存在η>0

当0<|u-a|<η时，|f(u)-A|<ε

对于η>0

∵lim(x->x0)g(x)=a

∴存在δ>0

当0<|x-x0|<δ时， |g(x)-a|<η

∴|f[g(x)]-A|<ε

∴lim(x->x0)f([g(x)])=A

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也就是说，在求极限时，lim可以移到函数的内部去，比如：

lim(x->x0)[ln(x^2 1)]=ln[lim(x->x0)(x^2 1)]

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