初二数学外角问题讲解（初中数学永远不肯用）

写在前面

本学期接近尾声，初一的几何也即将结束，而外角的引入，则让很多同学不适应，笔者取了这个标题“永远不肯用”，是因为很多同学头脑里对三角形内角和为180°充满执念，不愿接受新知识，所以，我开设了这一课，力图帮你有所突破！

一、知识回顾

三角形的一边与它邻边延长线所组成的角，叫做三角形的外角

如图，把△ABC的边AB延长，得到∠CBD，称为△ABC的一个外角．

“外角”是三角形的外角，

我们称某个角是某个三角形的外角，

而不称三角形某个角的外角．

三角形外角定理

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

如图，在△ABC中，∠CBD＝∠A＋∠C．

要找外角，我们可以形象的把基本图形生活化，整个外角模型就像一面小旗，外角就是旗杆和旗面下边缘的夹角．

二、专题突破

1、外角再认识

例：

如图，说出图中所有的外角，并指出其是哪个三角形的外角．

分析：

要确定某个角是某个三角形的外角，要先确定这个角的邻补角在哪个三角形中，它就是这个三角形的外角．比如∠1的邻补角是∠2，∠2在△CBE中，则∠1是△CBE的外角．再比如∠3的邻补角有2个，但均不在三角形中，所以不能作外角．而∠4的邻补角有2个，且均在三角形中，则∠4是两个三角形的外角．

解答：

∠1是△CBE的外角，∠2是△ABF的外角，

∠4和∠6是△ABF，△DEF的外角，

∠7是△DFE的外角，∠8是△CDA的外角．

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(1)八字形模型

如图，试探究∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系．

分析：

这个模型的结论是∠A＋∠B＝∠C＋∠D，很多同学利用两个三角形的内角和为180°，减去相等的两个对顶角，得出结论，稍显繁琐，我们不妨用外角来证．

证明：

在△AOB中，∠BOC＝∠A＋∠B

在△COD中，∠BOC＝∠C＋∠D

∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(2)平行线拐角模型(续)

如图，试探究∠B，∠BED，∠D之间的数量关系．

分析：

这个模型的结论是∠BED＝∠B＋∠D，之前我们过点E作平行线证明，但仔细观察这个结论，很像一个外角等于两个不相邻的内角和的形式．因此我们可以尝试把∠BED转化为外角，添加另一种辅助线．

证明：

如图，延长DE交AB于F，

在△BEF中，∠BED＝∠B＋∠1

∵AB∥CD，∴∠1＝∠D

∴∠BED＝∠B＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(2)平行线拐角模型(续)

如图，试探究∠B，∠BED，∠D之间的数量关系．

分析：

这个模型的结论是∠B＝∠BED＋∠D，形式也类似于外角定理，因此，我们同样也可以将∠B转化为外角，这时自然可以发现，同位角和内错角均可实现．

证明：

设BE，CD交于点F

∵AB∥CD

∴∠1＝∠B

在△EFD中，∠1＝∠BED＋∠D

∴∠B＝∠BED＋∠D

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(3)规形图模型

如图，试探究∠A，∠B，∠C，∠BDC之间的数量关系．

分析：

这个模型很像数学工具圆规，故称规形图，结论是∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC，这个模型，笔者在2017年暑假常州行者聚会学习时，曾受益匪浅，后整理成文《暑假特辑12 从知识体系的顺序过渡，谈对“规形图”结论证明的再认识》，这里我们还是选择两种最经典的外角证法．

证明：

法1：

如图，延长BD交AC于点E

在△ABE中，∠1＝∠A＋∠B

在△DEC中，∠BDC＝∠1＋∠C

∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C

法2：

如图，连接AD并延长至点E

在△ABD中，∠3＝∠1＋∠B

在△ADC中，∠4＝∠2＋∠C

∴∠BDC＝∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C

＝∠BAC＋∠B＋∠C

2、借助外角，掌握基本模型

例：

(4)翻折模型

如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，∠ADE与∠DAE相等吗？

分析：

本题的结论是∠1＋∠2＝2∠A，利用多边形内角和也能证明，简单过程如下，∠1＋∠2＝360°－(∠B＋∠C)－(∠A'DE＋∠A'ED)＝360°－(180°－∠A)－(180°－∠A')＝2∠A．但是我们也可以利用外角，翻折的常用辅助线作法是作对应点的连线，我们不妨连接AA'．

证明：

连接AA'

由题意得，A'D＝AD，∠3＝∠4

A'E＝AE，∠5＝∠6

在△ADA'中，∠1＝∠3＋∠4＝2∠4

在△AEA'中，∠2＝∠5＋∠6＝2∠6

∴∠1＋∠2＝2∠4＋2∠6＝2∠BAC

3、优解典例分析

例1：

如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

分析：

这样的题，粗看无法下手，这就需要利用外角，或从中抽离出基本模型，通过结论求解．下面给出2种解法．

解答：

法1：

如图，设AC交BE于M，AD交BE于N

在△MEC中，∠1＝∠C＋∠E

在△BND中，∠2＝∠B＋∠D

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°

法2：

如图，设BD，CE交于点F，

易知∠A＋∠C＋∠D＝∠CFD，

在△BEF中，∠1＝∠B＋∠E

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠1＋∠CFD＝180°

3、优解典例分析

例2：

如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．

分析：

本题中，∠D，∠C，∠B在一个四边形中，∠E，∠F在一个四边形中，∠A，∠G在一个三角形中，位置很分散，这就需要将其尽可能靠拢，显然，∠A，∠G的和可以等于一个外角，想到设AB，GF的交点是H，接下来，就可以用多种方法了．

解答：

法1：

如图，设AB，GF交于点H

在△AGH中，∠A＋∠G＝∠1，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G

＝∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1

∵∠B＋∠C＋∠D＋∠2＝360°

∠3＋∠E＋∠F＋∠1＝360°

∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1

＝720°－(∠2＋∠3)＝540°

法2：

连接BF，∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2

∴∠A＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠G

＝∠1＋∠2＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH

＝∠CBF＋∠BFE＋∠FED＋∠D＋∠C＝540°

3、优解典例分析

例3：

如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，∠ADE与∠DAE相等吗？

分析：

这是一道教科书上的原题，一道经典的外角题，我们拿到题时，首先思考，这两个角可以扮演什么角色，显然，图中∠DAE可看作组合角，即∠DAC与∠CAE的和，而∠ADE若看作内角，无法施展，联想到外角， 是∠B与∠BAD的和，则问题可解．

解答：

∵AD是△ABC的角平分线

∴∠BAD＝∠CAD

在△ABD中，∠ADE＝∠B＋∠BAD

∠DAE＝∠CAD＋∠EAC

∵∠EAC＝∠B

∴∠ADE＝∠DAE

思考题

Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：______；

（2）若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

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编辑：刘子光

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