数学中未解决或证明的猜想和问题（数学探寻中绕不过的弯）

生活离不开猜想，解决数学问题需要猜想，科学研究建立在猜想之上……，猜想，绕不过的弯。好的猜想犹如引路石，引导我们向前，从猜想走向发现。

著名物理学家牛顿说："没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。"当代著名科学哲学家波普尔说："我们的科学知识，是利用未经证明的和不可证明的预言，进行猜测，通过对问题的尝试性解决，最终猜想而进步的."观察、实验、猜想是科学研究的重要方法，通过观察和实验提出问题，再进行猜想和假设，最后通过推理去证明猜想和假设。

20世纪60年代，日本数学家角谷静夫发现了一个非常有趣的现象：对于任何一个大于1的自然数，如果它是偶数，就用它除2；如果它是奇数，则把它乘以3后再加1；就这样经过有限次的运算，最后得到的结果必然是1.可将其表示为：

设n为大于1的自然数，

则从n到nm的变换过程就叫做"角谷猜想"。其实，叫它“冰雹猜想”更形象，也更恰当。因为它就像小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中国忽上忽下，越积越大并形成冰突然落下来，变成冰雹。

“冰雹猜想”即算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成一个数字:“1”。

“冰雹猜想”即任意取一个自然数，按以下规则进行计算。

例如：

“冰雹猜想”即任意取一个自然数，按以下规则进行计算。

如：上图中自然数7，7是奇数，乘3加1得22；22是偶数，除以2得11；11是奇数，乘3加1得34……

我们把上述步骤记为:

下面请看几例：

以奇数3为例，按照"角谷猜想"有：3→10→5→16→8→4→2→1；再以奇数23为例，按照"角谷猜想"有：23→70→35→106→53→160→80

→40→20→10→5→16→8→4→2→1.

以偶数18为例，按照"角谷猜想"有：18→9→28→14→7→22→11→34→

17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1；再以偶数100为例，按照"角谷猜想"有：100→50→25→76→38→19→58

→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→

4→2→1.

当"角谷猜想"传到美国，它曾风靡一时美国一位数学家说："有一个时期，在美国大学里，"角谷猜想"几乎成了最热门的话题，数学系和计算机系的大学生，差不多人人都在研究它."

从某种意义上说，数学史就是猜想与验证猜想的历史。四色猜想和费马大猜想是20世纪数学发展中的巨大成果，而孪生素数猜想和哥德巴赫猜想历经几个世纪的探索，尚未被人类证实猜想的正确性。

2019年9月13日，天才数学家陶哲轩发表一篇论文，将这个猜想的证明又往前推进一步！

他的基本思路是这样的。对于任何一个正整数n，设函数S(n)表示全部运算过程中的最小数，那么只要证明S(n)=1即可。但这个证明太难了，于是寻求证明一个比较容易的命题。

证明：S(n)<f(n)，而f(n)是一个很小的函数

陶哲轩在前人证明的基础上进行了"综合"，结果得出f(n)是一个增长极其缓慢的函数，增长速度可以控制在lnlnlnln(n)内。

不过，这篇论文中大量使用了almost这个词，几乎！也就是说，他的结论只是满足几乎所有整数，无法保证所有整数。于是，媒体冠以标题"陶哲轩几乎证明了3x 1猜想"。完全不是这样，离几乎完成证明还有好几光年呢。

首先是f(n)是一个函数，而不是常数，其次，几乎所有整数满足，就给了人无限遐想：会不会真的有个特例，它就不满足角谷猜想？

例１. （张家界中考题）任意大于1的正整数m的三次幂均可"分裂"成m个连续奇数的和，如：2³＝3 5，3³＝7 9 11，4³＝13 15 17 19，…按此规律，若m³分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（　　）

A．46 B．45 C．44 D．43

【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2015所在的奇数的范围，即可得解．

【解答】：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，

∴m³分裂成m个奇数，

所以，到m3的奇数的个数为：2 3 4 … m＝（m 2）(m-1)/2，

∵2n 1＝2015，n＝1007，

∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，

∵(44 2)(44-1)/2＝989，(45 2)(45-1)/2＝1034，

∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，

即m＝45．故选：B．

本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．

变式1. 大于1的正整数m的三次幂可"分裂"成若干个连续奇数的和，如2³＝3 5，3³＝7 9 11，4³＝13 15 17 19，133也能按此规律进行分裂，则13³分裂出的奇数中最大的是（　　）

A．179 B．181 C．165 D．167

【分析】首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1） 1，问题得以解决．

由2³＝3 5，分裂中的第一个数是：3＝2×1 1，

3³＝7 9 11，分裂中的第一个数是：7＝3×2 1，

4³＝13 15 17 19，分裂中的第一个数是：13＝4×3 1，

5³＝21 23 25 27 29，分裂中的第一个数是：21＝5×4 1，

6³＝31 33 35 37 39 41，分裂中的第一个数是：31＝6×5 1，

所以13³分裂"出的分裂中的第一个数是：13×12 1＝157，

则13³分裂出的奇数中最大的是：13×12 1 2×（13﹣1）＝181．故选：B．

此题主要考查了数字变化规律，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．

变式2.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的"分裂"：

仿上，52的"分裂"中最大的数是____，若m3的"分裂"中最小数是21，则m＝_____．

【分析】观察题中给出的"分裂"得到5²"分裂"为5个从1开始的连续奇数，即1 3 5 7 9，得到最大的数为9；m³"分裂"为m个连续奇数，由于最小数是21，然后依次相加得到21 23＝44，44 25＝69，69 27＝96，96 29＝125，即有125＝5³，所以m＝5．故答案为9，5．

本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

提出猜想的目的在于要解决它，但猜想可能被证明，也可能被否定.

随着新的质数检验方法的出现和计算机技术日新月异的发展，人们已能非常有效地检验一个费马数是否为质数，但要想将已知为合数的费马数进行因数分解却是异常困难.由于大整数的因数分解的计算量非常之大，即使借助于当今世界上最先进、最高速的计算机，也只能分解100位以下的大整数，所以至今数学家们能分解的费马数也只是很有限的几个。让我们来看看继欧拉之后分解费马数的艰难历程吧：

1880年，兰德里（Landry）证明了F６是合数，并找到了它的一个较小的质因数：274177；

1909年，莫尔黑德（Morehead）和韦斯顿（Western）证明了F７是一个合数，可迟至1971年才由布里尔哈特（Brillhart）和莫里森（Morrison）利用IBM360-91型计算机找到了它的一个较小的质因数：59649589127497217；至于F９（即2＾512　 1，它可是一个由155位数字构成的大整数！），人们早已知道它是合数，可是直到今天世界上根本就无人能够成功分解！

费马（1601-1665），主职为律师，业余从事数学研究，被称为"业余数学之王"，他依靠深邃的洞察力、敏锐的直觉和灵感、独特的方法，给后世留下极其美妙的定理和猜想

费马在"费马数"问题中"想当然"所导致的错误给我们的启示是：从特殊情形出发猜想一般的结论有可能是错误的.我们既要勇于"大胆猜想"，又必须"小心求证"

"证明"是数学中最重要的事情，"证明"赋予数学其他学科无法比拟的严密性。

"角谷猜想"的发表，引起了广大数学爱好者的极大兴趣和数学家们的高度关注，数学爱好者们把它作为一种有趣的、开发智力的游戏，而数学家们所关注的则是怎样从理论上证明这个看似简单却趣味丛生的数学问题，随着计算机的迅速发展和快速普及，人们应用计算机检验了从l到7×l0"的所有自然数，按照"角谷变换"得到的最终结果都是1.

猜想是思考问题的一种思维方式，也是我们理解和掌握数学的重要方法。数学家的创造性工作的结果是一个个推理证明，但证明离不开猜想。

提出猜想的常用方法：（1）实验观察；（2）分析归纳；（3）类比联想；（4）引申推广。

举世瞩目的"数学皇冠上的明珠"——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3 3，8=3 5，10=3 7，12=5 7，14=3 11归纳得出："任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和。"

我国数学家陈景润于1973年证明了"1 2"，离解决哥德巴赫猜想问题，即"1 1"仅一步之遥.

…

∵2020÷3＝673…1； ∴a2020与a1相同，为3．故答案为：3．

数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24则：若n＝13，则第2019次"F"运算的结果是　 　．

【解析】：根据题意可以写出前几次的输出结果，从而可以发现"F"运算的结果的变化特点，从而可以写出第2019次"F"运算的结果．

由题意可得，当n＝13时，第一次"F"运算的结果为：40，第二次"F"运算的结果为：5，第三次"F"运算的结果为：16，第四次"F"运算的结果为：1，第五次"F"运算的结果为：10，第六次"F"运算的结果为：5，…，

∵（2019﹣1）÷4＝2018÷4＝504…2， ∴第2019次"F"运算的结果是16，

故答案为：16．

游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果

观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：

（1）数与式的特征观察。

（2）图形的结构观察

（3）通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况。

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