分母是108的所有真分数的和是多少（分母是1001的最简真分数有多少个）

例题：

分母是1001的最简真分数有多少个?

参考答案1：

1001=7×11×13

分子是7的倍数的有11×13=143个，

分子是11的倍数的有7×13=91个，

分子是13的倍数的有7×11=77个，

分子是7×11的倍数的有13个，

分子是7×13的倍数的有11个，

分子是11×13的倍数的有7个，

分子是7×11×13的倍数的有1个。

所以一共有1001-143-91-77 13 11 7-1=720(个)

参考答案2：

1001=7×11×13

分子是7的倍数的个数占1001的1/7，分子不是7的倍数的个数占6/7，同理分子不是11的倍数的个数占10/11，分子不是13的倍数的个数占12/13，所以分母是1001的最简真分数的个数是1001×(1-1/7)×(1-1/11)×(1-1/13)=720个。

参考答案3：

因为1001=7×11×13，所以，分子是7,11,13,77,91,143的倍数的数应减去。

1000÷7=142（个）……6

1000÷11=90（个）……10

1000÷13=76（个）……12

1000÷77=12（个）……76

1000÷91=10（个）……90

1000÷143=6（个）……142

分别是7,11,13,77,91,143的倍数的数一共有142＋90＋76＋12＋10＋6=336（个）。

又因为143的倍数有6个，既是143的倍数，又是11和13的倍数，这样，就多算了6×2=12（个）数；

91的倍数有10个，既是91的倍数，又是7和13的倍数，这样，就多算了10×2=20（个）数；

77的倍数有12个，既是77的倍数，又是7和11的倍数，这样，就多算了12×2=24（个）数。共多算了12＋20＋24=56（个）数。

故知，分母是1001的最简真分数有1000－（336－56）=720（个）。

参考答案4：

求分母是1001的最简真分数实质是求小于1001的与1001互质的正整数，故可解得有720个。

方法如下：

1.考虑欧拉函数。因为1001=7×11×13，故由欧拉函数的可乘性可得φ(1001)=φ(7)×φ(11)×φ(13)=6×10×12=720.

2. 应用容斥原理。

1000-(11*13-1 13*7-1 7*11-1) (13-1 7-1 11-1)=720.

3.

1001×(6/7)×(10/11)×(12/13)=6×10×12=720个，计算过程实质等同于证明欧拉函数的可乘性，见附图.