高中数学确定函数的单调性区间（函数单调性的充要条件及应用）

1. 有关结论

函数的单调性的充分条件：

一般地，设函数在某个区间有导数，如果在这个区间内

，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'<0，那么f(x)为这个区间内的减函数。

利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。

函数单调性的充要条件：

（1）对于可导函数，如果方程

在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是

；f(x)为减函数的充要条件是。

（2）连续函数在闭区间[a，b]与开区间（a，b）上具有相同的单调性。

2. 应用

例1. 若函数

在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，

）内为增函数，求实数a的取值范围。解：

，其图象开口向上，对称轴为直线

由在区间（1，4）内为减函数知对

恒成立

即

解得

由在区间（6，）内为增函数知对

恒成立

或

解得

综上，得

例2. 已知函数

在区间

上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且

（1）求的表达式；

（2）设，若对任意的

，不等式

恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）

，其图象开口向上

因为f(x)在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减

所以当

时，取得极值故

，得

所以

因为f(x)在区间[-2，2]上单调递减

所以对

恒成立

即

解得

又，所以b＝0

于是

所以

（2）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间

上，

。由

，得

所以f(x)的减区间为[-2，2]

由，得

所以f(x)在区间上单调递减

当

时

故

即

解得

或

又

所以

--END--

,