自然数能表示两个平方差（数论之哪些数能表示成两个平方数之和）

这是一系列关于数论的介绍性文章，目的在于推广数学知识，拓展读者的数学思维至于为什么用图文而不是视频？图文有三个优越性：一是图文数据量小，节省学习时间；二是有助于个人主动思考；三是文字里的关键字，可以方便读者查阅相关资料，今天小编就来聊一聊关于自然数能表示两个平方差?接下来我们就一起去研究一下吧!

自然数能表示两个平方差

这是一系列关于数论的介绍性文章，目的在于推广数学知识，拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频？图文有三个优越性：一是图文数据量小，节省学习时间；二是有助于个人主动思考；三是文字里的关键字，可以方便读者查阅相关资料。

哪些数可表示成两个平方数之和？

对于素数，之前我们介绍了费马降阶法。

对于包括合数的所有正整数，这里介绍另一个方法，分而治之。

分而治之是一种分割求解的策略，是将问题分解成易于处理的小块，对每一小块问题求解，最后把各小块求解合起来成为原问题的解。

对于哪些数可表示成两个平方数之和，同样使用了以下恒等式，两平方数之和的乘积还是两平方数之和:

下面是将m表示成两平方数之和的步骤:

分割任务：将m分解成素数的乘积m=

逐一求解：将每个素数表示成两个平方数之和。

汇总统一：反复使用上述恒等式将m表示成两个平方数之和。

参考费马降阶法的介绍，每个素数p是两个平方数之和的充要条件是p=2或例如，为了将10表成两个平方数之和，先将10分解成10=2·5，再将2和5表成两个平方数之和。

然后，利用恒等式将它们结合起来:

10 = 2·5 = .

下面是一个更复杂的例子，将m=1105表示成两个平方数之和。

分割任务：分解m=1105 =5·13·17.

逐一求解：将每个素数p表成两平方数之和.

汇总统一：反复利用恒等式(*)将m表成两平方数之和。

m= 1105 =5·13·17

= =

= =

=

如果m的每个素因子都可表成两平方数之和，则我们的分割、求解、统一策略是成功的,我们知道哪些素数可表成两平方数之和。因此,如果m可分解成

其中每个素数或为2或为模4余1，就有办法将m表示成两平方数之和。

然而，还有另外一些m可表成两平方数之和，例如

.

注意上述每个例子中m都能被整除且中的a,b都可被3整除。将这三个例子用除便得到

可以将此推广到一般情形。任给，两边同乘可得

如果m是两平方数之和，则对任意d, 也是两平方数之和。另一方面，如果且a=dA, b =dB有一个公因子d，则可以提出d而得到

于是,m可被整除，且是两平方数之和。

这意味着，当我们试图将m表示成两平方数之和时，可以不考虑m的平方因子，取整数m并将其分解为

其中素因子互不相同。如果都能表成两平方数之和，则m就能表成两平方数之和。

考虑m=252000。将m分解为

=

因为素数7不能表成两平方数之和,所以m不能表成两平方数之和。

考虑m=25798 500，

5和13都能表示成两平方数之和，且易得,两边同乘即得

对于两平方数问题，存在以下定理。

定理 (两平方数之和定理) 设m是正整数。

(a) 将m分解为

其中是互不相同的素因子，则m可表成两个平方数之和的充要条件是每个或为2或为模4余1。

(b) m能表示成两平方数之和且gcd(a, b)=1，当且仅当以下两个条件之一

成立:

(i) m是奇数且m的每个素因子都模4余1。

(ii) m是偶数，m/2是奇数且m/2的每个素因子都模4余1。

所以，家长们，周末和子女玩一个数字分解游戏吧。

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