八年级数学上册教学思维题（人教版八年级数学核心素养）

如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G.

求证：（1）BF=CG

(2) AF=(1/2)(AB AC)

原题图

分析：本题主要考察的线段垂直平分线和角平分线，那么我们就要知道线段垂直平分线和角平分线的基本图形。一节焦平分线和线段垂直平分线的基本原理。交平分线上的点到角两边的距离相等。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。把这些基本的知识都掌握了以后，我们再看本道题。

第1问。要证明的是BF=CG。那么我们就要看有没有与bf和CD相关的三角形是全等的。通过前面我们对基本知识的分析。不难发现三角形BEF和三角形CEG是全等的。因为这两个三角形都是直角三角形。而且在我们前面分析的过程中，知道对应的斜边和一条直角边是相等的。现在我们就可以利用斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。从而就可以得到BF=CG。现在我们共同来看一下证明过程的书写。

第一问

第2问就有一定的难度了。首先我们可以发现，AFEG这个四边形是正方形.通过前面的分析。我们能看到三个直角。根据四边形的内角和是360度，所以我们可以判断第4个角也是直角。而且有一组邻边相等。这样的话他就是一个正方形。那么AF正好就是四边形的一条边。通过第1问的证明，我们知道BF正好等于CG。所以我们不难发现ab AC。正好就是正方形的两条边。所以第2问的证明也就很容易可以完成。只不过是正方形的有关性质，我们并没有学到。虽然我们对正方形这个图形很熟悉。但是他的有关性质我们并不了解，所以在这里我们不选择利用正方形来解决这个问题。要解决问题，我们还是从我们熟悉的知识来入手吧。我们看等号的右边AB AC。可以写成AB加AG再加CG。因为这里的CG=BF。所以我们又可以把AB AG CG写成。AB AG BF。因为AB BF=AF。这样我们就可以把AB加AC写成AG AF。

这里的AG和AF分别是直角三角形AGE和直角三角形AFE的两条直角边。这里我们很容易就可以证明这两个直角三角形是全等的。从而就可以说明AG=AF。那么前面的AG加AF就可以写成二倍的AF。再和前面的1/2相乘，就可以得到AF。这样我们就可以完成第2问的证明。

第二问

我相信注意听，认真听讲的同学都能听懂。但是大多数同学自己遇到这样的题目就不会做。主要原因就是这样的题目，大家当时看懂了也听懂了。唯一的原因就是懒惰所导致的，遇到相似的题不会做。有兴趣的同学可以看原题自己来完成整个题目的解答过程。