一道初三数学二次根式化简问题（举一反三系列12公式化化简双重二次根式）

如果形如√(m±√n)二次根式能够进行化简，则化简结果的形式一般是√a±√b，则有

√(m±√n)= √a±√b，

两边平方，得

m±√n=a b± 2√(ab)，

比较两边有理数和无理数，得

a b=m，ab=n/4，

所以a，b是方程x^²-mx n/4=0的两根，

解得a，b=[m±√(m^²-n)]/2，

因此，可得双重二次根式的化简公式为：

√(m±√n)= √a±√b，

其中a=[m √(m^²-n)]/2，b= a，b=[m-√(m^²-n)]/2。

例 化简: √(33-20√2).

解析：可以先把二次根式化为√(33-√800)，

这里m=33，n=800，m^²-n=1089-800=289，然后直接代入公式，得：

a=(33 √289)/2=(33 17)/2=25，

b=(33-√289)/2=(33-17)/2=8，

所以原式= √a-√b

=√25-√8

=5-2√2.

如果忘记了公式，则可以按照公式推导过程进行化简：

设√(33-20√2)= √a-√b.

两边平方，得

33-20√2=a b-2√ab，

所以a b=33，ab=200，

由韦达定理逆定理，得a、b是方程x^²-33x 200=0的根，

(x-25)(x-8)=0，

所以a=25，b=8，

所以原式=√25-√8

=5-2√2.

练习：化简下列各题：

（1）√(14-√180).

答案：3-√5.

（2）√(33-20√3).

答案：2√3-√5.

（3）√(34-24√2).

答案：3√2-4.