数学的准确性论文（浅谈现代数学公理）

一、评估一个演绎论证，通常有三个维度，即：有效性、可靠性及说服力，今天小编就来聊一聊关于数学的准确性论文?接下来我们就一起去研究一下吧!

数学的准确性论文

一、评估一个演绎论证，通常有三个维度，即：有效性、可靠性及说服力。

• 有效性就是一个演绎论证当且仅当其前提必然推出或蕴涵其结论。也就是说，如果前提全部为真，其结论不可能为假。我们称这样的论证是有效的和保真的。有效性是用来评估演绎论证的一个标准。论证是否有效从来不是程度问题，要么完全有效，要么根本无效。不可能存在“某种程度上有效。尤其是更加需要注意的是：演绎论证是否有效完全是一个结论是否可以从前提必然推出的问题；前提和结论各自的“实际”本身真或假，与论证的有效性基本无关。因此，一个有效的演绎论证可能有一个或更多假前提，但有一个真的结论。例如：所有狗都是鱼→所有鱼都是哺乳动物→所有狗都是哺乳动物。该论证是一个有效论证，但含有一个“所有狗都是鱼”的假前提。因此，最好把有效性看作仅是论证的前提和结论之间的一种逻辑关系，只与论证形式有关，而与其中构成论证的语句的“实际真与假”基本上是不相干的。
• 可靠性就是一个演绎论证当且仅当它是有效的，且它的所有前提都是真的。有效性和真前提是可靠性的两个必要条件。一个论证的真前提大多数都是通过科学公理、证明，或者历史学家、地理学家及其他事实发现者的观察来回答的。
• 说服力就是一个演绎论证具有1）可识别的有效性；2）可接受的前提；3）比结论更加明确可接受的前提。三个条件缺一不可。说服力不等于可靠性，有时候，一个论证不可靠，但仍然很有说服力；另一方面，有时候可靠的论证也可能没有说服力。

二、欧几里得的《几何原本》，是一个严谨的借肋演绎推理展开的系统。它从定义、公设和公理出发，一步一步地推证出了大量的、结论并不直观的几何定理。公理是许多学科都要用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公设则是专门为了几可对象而提出的。按现代数学的观点，公理和公设是一回事，没有必要加以区分。从前，公理被认为是自明之理，是真理，是相对真理或绝对真理，是不必再加以证明的命题。既然把欧几里得的公设看成是人类理性可以洞察的自明之理，数学家自然按照这个标准来要求它。结果发现欧几里得第五条公设“若一直线与其他两条直线相交，以致该直线一侧的两内角之各小于两 直角，则那两直线延伸足够长后必相交于该侧。”叙述起来那么复杂，理解起来并不见得容易，很不像一条自明之理。能不能取消这个公设作为公设的资格呢？这个诱人的思想吸引了欧几里得以后的许多数学家。然而，两千多年来无一例外地都失败了。到了19世纪，数学家从反面入手想问题。果然，俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利的波尔约和被称为“数学王子”的高斯几乎同时各自独立地发现了另一种几何学——非欧几何学。随后，黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π。现在，在我们面前摆出了这样的问题：三种几何学在逻辑上都能自圆其说，那么，哪一种是真的呢？对于纯数学家来说，这个问题好解决。三种都是真的。这说怪了！怎么可能三种都真呢？它们是彼此矛盾的呀！三角形的内角和，到底是大于180度，小于180度，还是等于180度呢？原来，纯数学家所说的真，是指不论哪种几何，只要它的公理公设成立，它的定理就成立。这么说，这里所谓的“真”，不过指的是其逻辑上不自相矛盾而已。即：只要符合演绎论证的有效性就可以了，不必达到可靠性要求。现在，数学家的看法变了，没有什么自明之理。即使有，也不必要求数学公理是真理。现代数学公理仅仅是对数学对象的性质的约定。什么是直线？直线就是满足我的这几条公理的某种东西。满足欧几里得公理，叫欧氏真线；满足罗巴切夫斯基公理，叫罗氏直线；等等。公理对不对，这个问题对数学家是没有意义的。数学家只说：如果某一些对象适合于这些公理，它一定也适合于从公理推出的定理。在这个意义上，数学定理总是对的，就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样。它依赖于下棋的规则。当然，数学公理也不是完全任意由人们来约定的。一般来说，数学公理要满足1）相容性或协调性；2）相互独立性；3）完全性，三个条件。其中最重要的是相容性。现代数学对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思想，现代数学中各种公理系统层出不穷，谁也不能说谁的公理不对。然而，有些公理系统很有用，很受欢迎；有些公理系统没什么用，“束之高阁，并不实行”，建立之后渐渐被人们忘了，甚至没有人注意它。

三、议论文体主要是以议论为主要表达方式的一种文体。它具有1）思想明晰；2）观点鲜明；3）说服力强，等特点。论点是作者在文章中所阐发的主要观点，它在整个论证过程中处于主导和支配的地位，对论据和论证具有制约作用。论据是证实论点的根据。论据一般可分为两 类，一类是事实的材料，一类是理论的材料。事实材料就是用现实或历吏存在的具体事例或数据作为论据。理论材料是对事实材料的概括，它包括前人的经典著作和至理名言，民间的谚语，科学上的公理和定律以及政策法律等等。作为论据的公理，一定要具有权威性和真实性，而且这种真实是人们通常意义上来理解的真实，不是经过高深玄妙的科学证明才发现的真实。也就是说，在使用演绎论证的时候，一定要确保论证的可靠性，不能仅仅达到有效性，否则根本无法具有说服力。在这点上，写议论文与现代数学论证定理所用的公理是有不同的。

逻辑思维是数学论证和议论文写作的灵魂。从小有意识地培养逻辑思维能力是很有必要的。逻辑思维能力和想象能力是助推你探寻科学深空的两只翅膀～～

参考文献：1、《数学与哲学》张景中院士著；2《逻辑思维简易入门》机械工业出版社出版；3、《新编大学写作》徐中玉主编。