函数的单调性与最小值（函数的单调性是解决）

函数的最值定理

1、如果对于任意的X∈D，都有f(x)≤M，且存在Xo∈D，使f(Xo)=M，则称M为f(x)在D上的最大值;

如果对于任意的X∈D，都有f(X)≥M，且存在Xo∈D，使f(Xo)=M，则称M为f(×)在D上的最小值。

2、闭区间上的函数f(x)必定存在最大值和最小值。若函数在D上单调，则最值在端点处取得;若不单调，则一定不能用端点的函数值代替。用端点函数值代替最值是学生常常出现的高频错误，纠错方法最简单，就是利用函数的单调性。

3、函数的最值与值域是不一样的。函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。函数的值域为闭区间[a，b]，则a为最小值，b为最大值;函数的值域开区间(a，b)，a不是最小值，b也不是最大值，此时函数没有最大值也没有最小值。函数的值域为[a，b)，函数有最小值a，没有最大值;函数的值域为(a，b]，函数有最大值b没有最小值。

题型一：用单调性求具体函数的最值

例：求函数f(×)=x/(X一1)在区间[2，5]上的最值。

习惯性错误：最小值f(2)=2，最大值f(5)=5/4。显然不对。错点是用端点函数值代替最值。

纠错：

f(X)=(X一1 1)/(X一1)=1 1/(X一1)在[2，5]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=5/4。

题型二：对勾函数的最值

对勾函数是一个极其重要的函数模型，其图象和单调性必须要熟练掌握。

例.已知a>0,函数f(x)=x a/X(x>0).

(1)用定义探求该函数的单调区间,指出其在相应区间上的单调性；

(2)若已知该函数的最小值是a-8,求实数a的值

[思路探寻]先用定义法求出f(x)的单调区间,研究其单调性，利用第(1)问的结论求出最值,最后求实数a。

[解析](1)设x1、x2是任意两个正数,且X1<X2,则

f(X1)-f(X2)=……=

(x1一X2)(X1X2一a)/X1X2

(此时X1X2一a无法确定正负号，要讨论)

当0<X1<X2≤√a时,0<X1X2<a,

又x1ーx2<0,所以f(x1)ーf(x2)>0,即f(X1)>f(X2),所以函数f(x)在(0,√a)上单调递减；

而当√a≤X1<x2时,x1x2>a,

又x1ーx2<0,所以f(X1)一f(X2)<0,即f(X1)<f(X2),故函数f(x)在[a, ∞)上单调递增。

(2)由(1)知该函数的最小值是f(√a)=2√a,依题意,a-8=2√a,

所以(√a)²-2√a-8=0,

解得√a=4(√a=-2舍去)

所以所求的实数a=16。

[同步跟踪]

求函数y=X²一1 4/(X²一1)(0≤x<1)的最值。

[思路探寻]令X²一1=t(一1≤t<O)，利用函数y=t 4/t的単调性求解。同学们习惯用“基本不等式得到y=t 4/t≥4，错因“一正二定三相等”第一个“正数条件就不满足。

[解析]令1ーX²=t，∵0≤X<1，

∴一1≤t<0，y=t 4/t，

∵y=t 4/t在[一1，0)上单调递减，(用单调性定义证明，高二可用导数求得)。

∴y=t 4/t在[一1，0)上单调递减，所以当t=一1即X=0时函数取最大值一5，无最小值。

题型三：利用单调性求抽象函数的最值

已知定义在(0， ∞)上的函数f(×)满足f(X1/X2)=f(X1)一f(X2)，且当X>1时，f(×)<0。

（1）求f(1)的值;

（2）证明：f(x)为单调递减函数;

（3）若f(3)=一1，求f(X)在[2，9]上的最小值。

解：（1）令X2=X1>0，f(1)=f(x1)一f(X1)=0;

（2）设X1，X2∈(0， ∞)，且x1<X2，则X2/X1>1，f(X2/X1)<0，所以f(Ⅹ2)一f(x1)<0即f(x2)<f(X1)，故f(X)为单调递减函数。

（3）、由（2），f(x)在[2，9]上单调递减，最小值为f(9)。因f(3)=一1，又f(9/3)=f(9)一f(3)，∴f(9)=一2，所以f(X)在[2，9]上的最小值为一2。

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