高中数学计算过程的难点（一位高中数学教师眼中的）

人生就像解方程，运算的每一步似乎都无关大局，但对最终求解却是必要的。结果往往令人神往，我却更喜欢过程本身，过程就是结果的奥秘所在。

------冯定

1.运算的概念与分类

运算，数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。运算的本质是集合之间的映射。（本文讨论的运算以江苏的高考数学为准）

运算一般可以分为一元运算、二元运算和混合运算。

一元运算有绝对值、三角函数、逻辑非等等，这些都是一元运算，本质上是A→B形式的映射。

二元运算，本质上是A×B→C形式的映射。代数运算都是二元运算，如数与数之间的加、减、乘、除、乘方、开方、对数;集合与集合之间的交、并、补;逻辑且、逻辑或等。

数学上对二元运算有如下定义:假设S和T分别是集合，S上的一个T值运算R就是指笛卡尔直积S×S到T的一个映射，也就是映射:

R:S×S→T

运算的性质

R:S×S→T

按照传统的写法，对于S中的两个元素a,b, 我们用aRb来表示这个运算。

当S=T时，我们就说这个运算是封闭的。

比如S=T是实数集合，此时我们就可以分别定义加减乘除运算。

又比如S是n维实向量集合，T是实数集合，我们就可以定义内积运算。

除了上述常见的代数运算之外，还有许多其它的运算， 比如开方运算，导数运算，积分运算，取整运算等等。

这些运算可以看成是"算子"的作用。所谓算子，可以看成是作用在运算元素上的函数符号。 比如减法运算的算子就是减号-，开方运算的算子就是根号√￣，导数运算的算子就是d/dx，积分运算的算子就是积分号∫。

混合运算，我们最常见的就是加法、减法、乘法、除法混合在一起的运算，称为四则混合运算。其中，加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。高中还会加上其他的运算与四则运算一起在进行运算。

比如：

2.加减运算

2.1加法

加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。

2.1.1基本定义

基本定义

一般来说，在一个集合F上定义一个二元关系“ ”，满足：

（1）交换律：对任意的 a , b ∈ F ，a b = b a ∈ F；

（2）结合律：对任意的 a , b , c ∈ F ，a (b c) = (a b) c；

（3）单位元：存在一个元素 0 ∈ F ，满足对任意的 a ∈ F ，a 0 = 0 a = a；

（4）逆元：对任意的 a ∈ F ，存在一个元素 (-a) ∈ F ，满足 a (-a) = 0。

“ ”称作定义在集合F上的加法。

“ ”是加号，加号前面和后面的数是加数，“=”是等于号，等于号后面的数是和。

2.12运算的封闭性

加法对自然数集（N）是封闭的，自然对整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）也是封闭的

2.2减法

减法是四则运算之一，从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法;已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。表示减法的符号是"-"，读作减号。

性质，减去一个数，等于加这个数的相反数。如，a-b-c=a-(b c)

算式名称，"-"是减号，减号前面的数是被减数，减号后面的数是减数，"="是等于号，等于号后面的数是差。即，被减数—减数=差。

减法运算是加法运算的逆运算。在数学上二者并无什么本质上的不同。

减法对自然数集（N）是不封闭的，对整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）是封闭的。

减法运算直接导致负数的出现，好像是水到渠成的事情。历史表明，人类接受一种新数的过程是漫长而又坎坷的。

负数的概念一直迟至十二世纪末，才由意大利数学家斐波那契做出正确的解释。但是直到18世纪，仍有一些学者认为负数是“荒唐、无稽的”。他们振振有词地说：“零是什么都没有”，那么负数，即小于零的数是什么东西呢？难道会有什么东西比“什么也没有”还有小吗？他们好像对“请你给我五个苹果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱”这样问题的数学表述( 3)-( 5)=(-2)视而不见。

3.乘除运算

3.1乘法

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积。从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。是四则运算之一。

名称，"×"是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，"="是等于号，等于号后面的数叫做积。

意义，3×5表示5个3相加，5x3表示3个5相加。常把乘号后面的因数做为乘号前因数的倍数。

法则，两数相乘，同号得正，异号得负。

运算定律，整数的乘法运算满足:交换律，结合律， 分配律，消去律。

1° 乘法交换律:ab=ba ，注:字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成•。

2° 乘法结合律:(ab)c=a(bc)，

3° 乘法分配律:(a b)c=ac bc。

小历史：《九九乘法歌诀》，又常称为"小九九"。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到"三九二十七"、"六八四十八"、"四八三十二"、"六六三十六"等句子。由此可见，早在"春秋"、"战国"的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。

乘法对加法对自然数集（N）是封闭的，自然对整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）也是封闭的

3.2除法

除法是四则运算之一。已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。即有，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商*除数 余数=被除数，除数不能为零（0）.

除法法则，除数是几位，先看被除数的前几位，前几位不够除，多看一位，除到哪位，商就写在哪位上面，不够商1，0占位。余数要比除数小，如果商是小数，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除数是小数，要化成除数是整数的除法再计算。

商不变性质， 被除数和除数同时乘或除以一个非零自然数，商不变。

除法的性质，一个数连续除以几个数，等于这个数除以那几个数的乘积。可以根据除法的性质来进行简便运算。如：300÷25÷4=300÷（25×4）

除法运算对自然数集（N）是不封闭的，对整数集（Z）是不封闭的、对有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）是封闭的。

除法运算是乘方运算的逆运算，在数学上二者并无什么本质上的不同。

讨论题：为什么先算括号再算乘除最后算加减？

网上有段文字谈人生的加减乘除，写的很好，节录如下：

我们的现实生活就象一张草稿纸，任由我们演算每一天的加减乘除法。我们这里所谓的加就是加倍努力、减就是减少烦杂、乘就是乘势而上、除就是除恶存善。学习要加，骄傲要减，机会要乘，懒惰要除。

园艺家说：“人生就是加法。种子生根发芽，加进水分和养料，才能根深枝繁叶茂开花结果。”

雕塑家说：“人生就是减法。巨石精雕细琢，减去多余的部分，才能雕琢成一尊精美的雕像。”

数学家说：“人生就是乘法。精心规划人生，精确设计每一个步骤，乘以所有的秀品质和最佳方法，才能成就成功人生。”

地矿家说：“人生就是除法。矿石冶炼成金，除去杂质需要千锤百炼，才能黄沙吹尽始见真金。”

加是一种成长，减是一种成熟，乘是一种跨越，除是一种超脱。

3.乘方（幂）

乘方(involution)是指求相同因数的积。乘方运算的结果叫幂(power)。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

注：本文讨论的指数暂限定在整数范围内，分数指数幂需要结合根式来讲更合理。

幂运算对对自然数集（N）是不封闭的，对整数集（Z）是不封闭的、对有理数集（Q）、实数集（R）、复数集（C）是封闭的（此结论是在整数指数幂时成立）。

3.1同底数幂法则

3.2幂的运算法则

3.3关于指数幂的几个小故事

这里要用到等比数列的概念：一个数列，从第二项起每一项与前一项的比是个定值（公比，不能为零），我们就称这个数列为等比数列。

指数函数的概念：一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

3.3.1

庄子（约前369－前286），战国中期哲学家，在其《庄子﹒天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是，把长为一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，如此下去，永远也取不完。（一世是三十年，这里不具指多长时间，形容时间长）

这个问题在我们的直观感觉中截取是可以永远进行的，但是历史的发展与认识是在不断变化的。

我们知道，在分子中两个原子间的距离大约是0.1nm。

如果从2017年09月01号开始，每天取其半，到2017年10月02号时已经要开始对一个原子进行切割。从此时开始，切割者可能明显地感觉到这根木棒不再是连续的了。也就说从此时感觉到有一些特殊的结构。我们知道，历史让连续性在此戛然而止。

注：量子论表达的思想非常明确：无论是光子还是其它物质不再是连续的了，都是一份份的，或者说是分散的、量子的，反正是不连续的。这种不连续性我们也称之为粒子性。

这也是不媚古的反思吧！

3.3.2

中国古代有一个“浮萍七子”的趣味题：浮萍夜产七子(连同母萍)，则一叶浮萍逐日应得浮萍数应是一个等比数列：1，7，7²，7³，…《孙子算经》中也记载了一个公比为9的等比数列问题：今有人出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何．书中给出了正确的答案，但没有解法的详细说明．

3.3.3

印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨﹒班﹒达依尔，这位聪明的大臣向国王请求道：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子；在第二个小格子内给两粒；第三格四粒；照这样下去每一格都比前一小格加一倍。陛下啊！把这些摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都恩赐给你的仆人吧！”

国王慷慨的许诺了西萨﹒班﹒达依尔的要求，却不知已经掉进了宰相精心编织的圈套。

国王需要付出的麦粒数是：

这是长达二十位的天文数字!这样多的麦粒，相当于全世界近两千年的小麦产量。

3.3.4

赔了140万法郎的拿破仑

公元1797年拿破仑在参观国立卢森堡小学的时候，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺说，只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一只价值相当的玫瑰花，以示两国的友谊。此后，由于火与剑的征战，拿破仑忘记自己最初的诺言。公元1894年，卢森堡国王向法兰西提出了“玫瑰花悬案”，要求法国在拿破仑的名誉与1375596法兰的债款中，二者选其一。这笔高达百万的巨款就是三个金路易的本金，以5％的年利率，在97年的指数（乘方或幂）效应下的产物。

3.3.5

指数效应的故事还有细胞繁殖（海拉细胞繁殖）、折叠纸张（一张A4对折再对折如此30次后与珠穆朗玛峰哪个高）、人口增长等等。

乘方的应用问题主要在等比数列类和指数函数类两个方面。这类以指数规律便化的自然现象和社会现象，有一个极为重要的特性：即量A的变化量ΔA，总是与量A本身及其变化的时间Δt成正比 ΔA∝AΔA

事实上，令A=f(t)=a^t,则

ΔA=a^{t Δt}-a^t=a^t(a^Δt-1)=AΔt[(a^Δt-1)/ Δt]]

数学上可以证明，上式右端括号内的量，当变化时间很短时，趋向一个极限值K（实际上等于lna）,从而证得：ΔA≈KAΔt

反过来，数学家也已经证明：如果量A的变化量与它的本身及变化时间成正比（比列系数为K），那么此时必有A=A₀e^kt 这里A₀是变量A的初始值(t=0)，数e=2.718……则是一个与圆周率一样重要的数学常量(了解请关注公众号：庄子的那条鱼)。

本文小结：

加法是完全一致的事物的重复或累计，是数字运算的开始。减法是加法的逆运算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆运算；乘方是乘法的特殊形式。数字运算的发展，是更特殊的情况，更高度重复下的规律。

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