有理数的混合运算的教程（微专题有理数的巧算）

【解读知识】

研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．

初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧。而有理数及其运算是整个数与代数的基础．有关式的所有运算都是建立在数的运算的基础上，因此它要求同学们在深刻理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．有理数的计算常用的方法与技巧有：

1、巧用运算律；

2、字母代替数；

3、倒序相加；

4、错位相减；

5、裂项相消；

6、利用公式等．

【问题解决】

1、巧用运算律

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的顺序，使复杂的问题变得较简单．

【例1】计算：

211×555 445×789 555×789 211×445

【分析】直接计算很麻烦，根据运算法则和运算律，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

【解析】

原式=(211×555 211×445)

(445×789 555×789)

=211×(555 445) (445 555)×789

=211×1000 1000×789

=1000×(211 789)

=1000 000．

【点评】加括号的一般思想方法是能运用运算律进行“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

2、字母代替数

用字母代替数，有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义，使计算过程更加简单化。

【例2】计算：

【点评】对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化计算的作用.

3、倒序相加

如果一列数，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.

【例3】计算:1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值.

【分析】观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2（这种数列称为等差数列）；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用倒序相加法求解.

【解析】用字母S表示所求算式，即

S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999. ①

再将S各项倒过来写为:

S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1. ②

将①，②两式左右分别相加，得

2S=（1＋1999）＋（3＋1997）＋……＋（1997＋3）＋（1999＋1）

=2000＋2000＋……＋2000＋2000(1000个2000)

=2000×1000.

∴S=2000×1000÷2=1000000.

【点评】本题之所以用倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字.利用这种方法可以推导出等差数列的求和公式，同学们可自行试试哦！

4、错位相减

如果一列数Sn，从第二项起每一项与前一项之比都相等，那么就可以把所有式子同时乘以它们的比q，即q·Sn；然后错开一位，把两个式子相减，这种数列求和的方法叫做错位相减法.

【分析】观察发现，算式中从第二项起，每一项都是它前面一项的3倍（这种数列称为等比数列）.如果将和式各项都乘以3，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算.

【解析】

【点评】如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等，那么这列数的求和问题，均可用错位相减法求解.利用这种方法可以推导出等比数列的求和公式，同学们可自行试试哦！

5、裂项相消

裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

【解析】

【点评】本题使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种裂项相消的方法在有理数巧算中很常用.

6、利用公式（乘法公式将在八年级上册学习）

我们先来计算：(100＋2)×(100－2).

(100＋2)×(100－2)

=100×100－200×2＋2×100－2×2

=100²－2².

这是一个对具体数字的计算，若用字母a代替100，用字母b代替2，则上述计算过程将变为：

(a＋b)×(a－b)

=a²－ab＋ba－b²

=a²－b².

于是我们得到了一个重要的计算公式：

(a＋b)(a－b)=a²－b².

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式进行计算时，不必重复公式的推导过程，可直接利用该公式进行计算.当然，我们以后还会学习到其他的一些重要公式.如下面的完全平方公式：

(a±b)²=a²±2ab＋b².

【点评】本题考查了平方差公式的运用，构造出能使用平方差公式的条件是解题的关键

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