数学负负得正的原理（数学中那些看起来不证自明的道理）

传递性是什么？象快递小哥，风里来，雨里去，一站一站上传下达。传递性象接力棒，虽被不同的人掌握，但都是为一个共同的目标，一棒一棒去拼搏。传递性象人类基因，承载着上辈喜怒哀乐的信息编码，一代一代传承下去。

一段文字，用文学的手段，描述了我们心中的传递性。但如钢铁般冷峻而理性的数学不会以此定义传递性的。数学中的传递性是什么？传递性是指数量之间（或图形之间）关系的传承不变性。

初中数学数量之间的关系，相等，不等（大于，小于）等。图形之间的关系，平行，相交，垂直，全等，相似等。这些关系中，哪些具有传递性？

细数起来，这些关系具有传递性：相等，大于，小于；平行，全等，相似。

比如：

数量之间关系有传递性：

• 若a=b，b=c，则a=c（相等的传递性）；
• 若a>b，b>c，则a>c（大于的传递性）；
• 若a<b，b<c，则a<c（小于的传递性）。

图形之间关系有传递性：

• 若a//b，b//c，则a//c（平行的传递性）；
• 若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI（全等的传递性）；
• 若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GH（相似的传递性）。

这些看似天经地义，“不证自明”的道理，你能否用数学的逻辑自圆其说呢？

• 若a=b，b=c，则a=c（相等的传递性）；

假设a≠c。因为a=b，则b≠c。这与已知b=c矛盾，因而假设不成立，所以a=c。

故相等关系具有传递性。

• 若a>b，b>c，则a>c（大于的传递性）；

从形的角度来看，在数轴上，数与点是一一对应的。越靠右的点所对应的数越大，越靠左的点对应的数越小；越大的数，对应点越靠右，越小的数，对应点越靠左。

如图，在数轴上a，b，c的对应点分别为A，B，C。因为a>b，则点A在点B的右边。因为b>c，则点B在点C的右边，因而点A在点C的右边，所以a>c。

故大于关系具有传递性。

• 若a<b，b<c，则a<c（小于的传递性）。

因为若a<b，则b>a，又b<c，则c>b，所以c>b，b>a，由“大于的传递性”得，c>a，即a<c。

故小于关系具有传递性。

• 若a//b，b//c，则a//c（平行的传递性）；

如图，设直线d与a，b，c同时相交，组成一组同位角∠1，∠2，∠3。

因为a//b，所以∠1=∠2；因为b//c，所以∠2=∠3。由“相等的传递性”得，∠1=∠3，所以a//c。

故平行关系具有传递性。

• 若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI（全等的传递性）；

因为△ABC≌△DEF，所以△ABC与△DEF的三边对应相等，三角对应相等；因为△DEF≌△GHI，所以△DEF与△GHI的三边对应相等，三角对应相等。由“相等的传递性”得，△ABC与△GHI的三边对应相等，三角对应相等，所以△ABC≌△GHI。

故全等关系具有传递性。

• 若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GH（相似的传递性）。

因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的三边对应成比例，三角对应相等；因为△DEF∽△GHI，所以△DEF与△GHI的三边对应成比例，三角对应相等。由“相等的传递性”得，△ABC与△GHI的三边对应成比例，三角对应相等，所以△ABC∽△GHI。

故相似关系具有传递性。

我们知道，要说明一个结论是成立的，光靠举例来说明是不够的。一千个例子，也不足以说明结论的正确。但要说明一个结论不成立，一个反例就够了，一个反例足以推翻一个结论。

我们来看看，“≠”关系具有传递性吗？

若a≠b，b≠c，则a≠c。

此结论不成立。举反例：1/2≠1,1≠4/8,但1/2=4/8=0.5。

所以“≠”关系不具有传递性。

垂直关系具有传递性吗？

在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c。

如图，

因为a⊥b，所以∠1=90°。因为b⊥c，所以∠2=90°，由“=”的传递性得，∠1=∠2，所以a//c，因而a与c不垂直。

这就是定理“一条直线垂直于平行线的一条，也垂直于平行线的另一条”的由来。

这条定理还有另外一种说法“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”。

所以“⊥”关系不具有传递性。

相等，大于，小于，是表示数量之间的关系；平行，全等，相似是表示图形之间的关系。这些关系是初中数学中最最基本的关系，而传递性是它们所共有性质。传递性，看起来是不证自明的，但数学的神奇之处就在于它们总能用数学的逻辑自圆其说，具备这种自圆其说的本领正是学习数学证明的目的。

从说明这些关系具有传递性的证明方法中，我们发现：

• 自圆其说都是建立在一些最基本的数学概念、公理、定理之上，同时一个结论被证明以后，它又可以作为进一步推理的基础，由此派生出新的结论，数学大厦由此建构。
• 图形的（平行/全等/相似）关系总是转化为（边/角）数量关系来说明，有时候数量之间的（大小）关系又转化为图形之间的（位置）关系来说明。这正是“数形结合”的数学思想的体现。
• 难则反(证法)，不易直接说明的，可以从假设(否定结论)出发，推出矛盾，再否定假设，从而得证。
• 有限的举例，不足以结论的正确性，但一个反例，足以说明结论的反面成立。