数学负负得正的原理(数学中那些看起来不证自明的道理)

数学负负得正的原理(数学中那些看起来不证自明的道理)(1)

01--传递性是什么?

传递性是什么?象快递小哥,风里来,雨里去,一站一站上传下达。传递性象接力棒,虽被不同的人掌握,但都是为一个共同的目标,一棒一棒去拼搏。传递性象人类基因,承载着上辈喜怒哀乐的信息编码,一代一代传承下去。

一段文字,用文学的手段,描述了我们心中的传递性。但如钢铁般冷峻而理性的数学不会以此定义传递性的。数学中的传递性是什么?传递性是指数量之间(或图形之间)关系的传承不变性。

02--哪些关系具有传递性?

初中数学数量之间的关系,相等,不等(大于,小于)等。图形之间的关系,平行,相交,垂直,全等,相似等。这些关系中,哪些具有传递性?

细数起来,这些关系具有传递性:相等,大于,小于;平行,全等,相似。

比如:

数量之间关系有传递性:

  • 若a=b,b=c,则a=c(相等的传递性);
  • 若a>b,b>c,则a>c(大于的传递性);
  • 若a<b,b<c,则a<c(小于的传递性)。

图形之间关系有传递性:

  • 若a//b,b//c,则a//c(平行的传递性);
  • 若△ABC≌△DEF,△DEF≌△GHI,则△ABC≌△GHI(全等的传递性);
  • 若△ABC∽△DEF,△DEF∽△GHI,则△ABC∽△GH(相似的传递性)。
03--这些关系为什么具有传递性?

这些看似天经地义,“不证自明”的道理,你能否用数学的逻辑自圆其说呢?

  • 若a=b,b=c,则a=c(相等的传递性)

假设a≠c。因为a=b,则b≠c。这与已知b=c矛盾,因而假设不成立,所以a=c。

故相等关系具有传递性。

  • 若a>b,b>c,则a>c(大于的传递性);

从形的角度来看,在数轴上,数与点是一一对应的。越靠右的点所对应的数越大,越靠左的点对应的数越小;越大的数,对应点越靠右,越小的数,对应点越靠左。

数学负负得正的原理(数学中那些看起来不证自明的道理)(2)

如图,在数轴上a,b,c的对应点分别为A,B,C。因为a>b,则点A在点B的右边。因为b>c,则点B在点C的右边,因而点A在点C的右边,所以a>c。

故大于关系具有传递性。

  • 若a<b,b<c,则a<c(小于的传递性)。

因为若a<b,则b>a,又b<c,则c>b,所以c>b,b>a,由“大于的传递性”得,c>a,即a<c。

故小于关系具有传递性。

  • 若a//b,b//c,则a//c(平行的传递性);

如图,设直线d与a,b,c同时相交,组成一组同位角∠1,∠2,∠3。

数学负负得正的原理(数学中那些看起来不证自明的道理)(3)

因为a//b,所以∠1=∠2;因为b//c,所以∠2=∠3。由“相等的传递性”得,∠1=∠3,所以a//c。

故平行关系具有传递性。

  • 若△ABC≌△DEF,△DEF≌△GHI,则△ABC≌△GHI(全等的传递性);

因为△ABC≌△DEF,所以△ABC与△DEF的三边对应相等,三角对应相等;因为△DEF≌△GHI,所以△DEF与△GHI的三边对应相等,三角对应相等。由“相等的传递性”得,△ABC与△GHI的三边对应相等,三角对应相等,所以△ABC≌△GHI。

故全等关系具有传递性。

  • 若△ABC∽△DEF,△DEF∽△GHI,则△ABC∽△GH(相似的传递性)。

因为△ABC△DEF,所以△ABC与△DEF的三边对应成比例,三角对应相等;因为△DEF△GHI,所以△DEF与△GHI的三边对应成比例,三角对应相等。由“相等的传递性”得,△ABC与△GHI的三边对应成比例,三角对应相等,所以△ABC△GHI。

故相似关系具有传递性。

04--这些关系为什么不具有传递性?

我们知道,要说明一个结论是成立的,光靠举例来说明是不够的。一千个例子,也不足以说明结论的正确。但要说明一个结论不成立,一个反例就够了,一个反例足以推翻一个结论。

我们来看看,“≠”关系具有传递性吗?

若a≠b,b≠c,则a≠c。

此结论不成立。举反例:1/2≠1,1≠4/8,但1/2=4/8=0.5。

所以“”关系不具有传递性。

垂直关系具有传递性吗?

在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c。

如图,

数学负负得正的原理(数学中那些看起来不证自明的道理)(4)

因为a⊥b,所以∠1=90°。因为b⊥c,所以∠2=90°,由“=”的传递性得,∠1=∠2,所以a//c,因而a与c不垂直。

这就是定理“一条直线垂直于平行线的一条,也垂直于平行线的另一条”的由来。

这条定理还有另外一种说法“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”。

所以“”关系不具有传递性。

05--结语

相等,大于,小于,是表示数量之间的关系;平行,全等,相似是表示图形之间的关系。这些关系是初中数学中最最基本的关系,而传递性是它们所共有性质。传递性,看起来是不证自明的,但数学的神奇之处就在于它们总能用数学的逻辑自圆其说,具备这种自圆其说的本领正是学习数学证明的目的。

从说明这些关系具有传递性的证明方法中,我们发现:

  • 自圆其说都是建立在一些最基本的数学概念、公理、定理之上,同时一个结论被证明以后,它又可以作为进一步推理的基础,由此派生出新的结论,数学大厦由此建构。
  • 图形的(平行/全等/相似)关系总是转化为(边/角)数量关系来说明,有时候数量之间的(大小)关系又转化为图形之间的(位置)关系来说明。这正是“数形结合”的数学思想的体现。
  • 难则反(证法),不易直接说明的,可以从假设(否定结论)出发,推出矛盾,再否定假设,从而得证。
  • 有限的举例,不足以结论的正确性,但一个反例,足以说明结论的反面成立。

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